高等数学

2022考研数二第01题解析：等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小，反之也成立

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x )$, $\beta ( x )$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：

① 若 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$, 则 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$;

② 若 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$;

③ 若 $\alpha ( x ) \sim \beta ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $-$ $\beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$;

④ 若 $\alpha ( x ) – \beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$.

其中所有真命题的序号是（）

(A) ① ③

(B) ① ④

(D) ② ③ ④

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一、题目

已知 $f ( x )$ 是连续函数， $F ( x )$ 是 $f ( x )$ 的原函数，则以下说法中正确的是哪个？

[A]. 若 $f ( x )$ 是偶函数，则 $F ( x )$ 必是奇函数

[B]. 若 $f ( x )$ 是奇函数，则 $F ( x )$ 必是偶函数

[C]. 若 $f ( x )$ 是周期函数，则$F ( x )$ 必是周期函数

[D]. 若 $f ( x )$ 是单调增函数，则 $F ( x )$ 必是单调增函数

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一、题目

设数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 与 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 满足 $\lim _{ n \rightarrow \infty } \left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ $=$ $0$, 则下列说法正确的是哪个？

(A) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 发散，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必发散

(B) 若 $\frac{1}{x _{ n }}$ 为无穷小量，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量

(D) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 无界，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必有界

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一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将通过图示的方式，给大家阐述清楚数列的有界、发散、收敛这三个概念之间的异同点，方便大家在其他辅导资料中常见的定义和举特例的方式之外，用更加形象的方式理解这三者之间的区别。

Tip

在本的示意图中：
[1]. 横坐标表示数列的项数 $n$, 从左向右依次增大；
[2]. 纵坐标表示数列的值 $\left\{ x_{n} \right\}$, 从下到上依次增大；
[3]. 同一个坐标系中不同颜色的点对应的项数 $n$ 不相等，但都属于同一个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$
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一、题目

$$
I = \lim _{ x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { 2 } } { 3 x + 1 } = ?
$$

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二、解析

$$
\begin{aligned}
I \ \
& = \lim _{ x \rightarrow \infty } \frac { 3 x + 1 } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow \infty } \left( \frac { 3 } { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) \\ \\
& = \frac{3}{\infty} + \frac{1}{\infty} \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$

于是：

$$
I = \lim _{ x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { 2 } } { 3 x + 1 } = \infty
$$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

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数列乘积极限的相关结论

一、前言

已知有数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$, 那么，这两个数列的乘积数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 的敛散性该怎么判断？

在本文中，荒原之梦考研数学就将通过一些例子，给同学们讲明白上述这个问题。

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2023年考研数二第21题解析：泰勒公式、存在性的理解

一、题目

设函数 $f ( x )$ 在 $[ – a , a ]$ 上具有 $2$ 阶连续导数，证明：

(1) 若 $f ( 0 ) = 0$, 则存在 $\xi \in ( – a , a )$, 使得 $f ^ { \prime \prime } ( \xi )$ $=$ $\frac { 1 } { a ^ { 2 } }$ $[ f ( a ) + f ( – a ) ]$;

(2) 若 $f ( x )$ 在 $( – a , a )$ 内取得极值，则存在 $\eta \in ( – a , a )$, 使得 $\left| f ^ { \prime \prime } ( \eta ) \right|$ $\geq$ $\frac { 1 } { 2 a ^ { 2 } }$ $| f ( a ) – f ( – a ) |$.

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