分类： 高等数学

题目

设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{‘}–xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(1)=\sqrt{e}$ 的特解.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $y(x)$;

$(\mathrm{Ⅱ})$ 设平面区域 $D=(x,y)|1⩽x⩽2,0⩽y⩽y(x)$, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积.

继续阅读“2019年考研数二第17题解析：一阶线性微分方程、旋转体的体积”

题目

求不定积分：

$$\int \frac{3x+6}{(x–1{)}^2(x^2+x+1)}\mathrm{d}x.$$

继续阅读“2019年考研数二第16题解析：待定系数法计算不定积分”

题目

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^{2x},x>0\\ x{e}^x+1,x⩽0,\end{array}$ 求 $f^{‘}(x)$, 并求 $f(x)$ 的极值.

继续阅读“2019年考研数二第15题解析：复合函数求导、分段函数、极值、极限”

题目

设数列 $x_n$ 满足：$x_1>0$, $x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}–1$ $(n=1,2,3,\cdots )$. 证明 $x_n$ 收敛，并求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$.

继续阅读“2018年考研数二第21题解析：数列极限、数学归纳法、拉格朗日中值定理”

题目

已知曲线 $L:y=\frac{4}{9}{x}^2$ $(x⩾0)$, 点 $O(0,0)$, 点 $A(0,1)$. 设 $P$ 是 $L$ 上的动点, $S$ 是直线 $OA$ 与直线 $AP$ 及曲线 $L$ 所围图形的面积. 若 $P$ 运动到点 $(3,4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$, 求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.

继续阅读“2018年考研数二第20题解析：积分、微分、直线方程”

题目

将长为 $2\mathrm{m}$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.

继续阅读“2018年考研数二第19题解析：条件极值、拉格朗日乘数法”

题目

已知常数 $k⩾\ln 2–1$. 证明：$(x-1)(x–{\ln }^{2}x+2k\ln x–1)⩾0$

继续阅读“2018年考研数二第18题解析：导数、单调性”

题目

设平面区域 $D$ 由曲线 $\{\begin{array}{c}x=t–\sin t;\\ y=1–\cos t\end{array}$ $(0⩽t⩽2\pi )$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 ${\iint }_D(x+2y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

继续阅读“2018年考研数二第17题解析：摆线、二重积分转二次积分、三角函数”

题目

已知连续函数 $f(x)$ 满足：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t=a{x}^2.$$

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x)$

$(\mathrm{Ⅱ})$ 若 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 $1$, 求 $a$ 的值.

继续阅读“2018年考研数二第16题解析：变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理”

题目

求不定积分：

$$\int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x–1}\mathrm{d}x.$$

继续阅读“2018年考研数二第15题解析：分部积分法、求导”

题目

设 $y(x)$ 是区间 $(0,\frac{3}{2})$ 内的可导函数，且 $y(1)=0$. 点 $P$ 是曲线 $l:y=y(x)$ 上的任意一点，$l$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0,Y_p)$, 法线与 $x$ 轴交于点 $(X_p,0)$. 若 $X_p=Y_p$, 求 $l$ 上点的坐标 $(x,y)$ 满足的方程。

继续阅读“2017年考研数二第21题解析：不定积分、分离变量、直线方程”

题目

已知平面区域 $D=$ $(x,y)|x^2+y^2⩽2y$, 计算二重积分 ${\iint }_D(x+1{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

继续阅读“2017年考研数二第20题解析：二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系”