高等数学 – 第 127 页

用待定系数法求二阶非齐次微分方程特解时的设解方法

针对使用待定系数法确定二阶非齐次微分方程组的特解，本文将根据二阶非齐次微分方程右端项形式的不同，分三种情况依次说明。

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一、题目

设数列 $x_{n}$ 收敛，则 $?$

⟨A⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sin x_{n}$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

⟨B⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sqrt{|x_{n}|})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $=$ $0$.

⟨C⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + x_{n}^{2})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

⟨D⟩. 当 $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sin x_{n})$ $=$ $0$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $0$.

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一、题目

设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)$ $=$ $f(-1)$ $=$ $1$, $f(0)$ $=$ $-1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)$ $>$ $0$, 则（）

⟨A⟩. $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$ $>$ $0$

⟨C⟩. $\int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{~d} x$ $>$ $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$

⟨B⟩. $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$ $<$ $0$

⟨D⟩. $\int_{-1}^{0} f(x) \mathrm{~d} x$ $<$ $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$

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一、题目

若函数 $f(x)$ $=$ $\begin{cases} \frac{1- \cos \sqrt{x}}{ax}, x > 0,\\ b, x \leqslant 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则（）

⟨A⟩. $ab = \frac{1}{2}$

⟨C⟩. $ab = 0$

⟨B⟩. $ab = – \frac{1}{2}$

⟨D⟩. $ab = 2$

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题目

设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $\ln z + e^{z-1} = xy$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x} |_{(2,\frac{1}{2})}=?$

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题目

$
\left\{\begin{matrix}
x=\cos ^{3} t,\\
y=\sin ^{3} t
\end{matrix}\right.
$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为 $?$

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题目

$$\int_{5}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}-4x+3} = ?$$

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题目

曲线 $y=x^{2} + 2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程是 $?$

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[高数]函数与方程在书写形式上的区别

函数

函数表示的是一种输入与输出的对应关系，通常把自变量放在等号的一侧，把因变量放在等号的另一侧，例如：

$$
y=x.
$$

方程

方程表示的是一种相等关系，不区分自变量和因变量，通常把所有变量、数字和运算放在等号的一侧并使得等号的另一侧为 $0$, 例如：

$$
x-y=0.
$$

EOF

题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] = ?
$$

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2018年考研数二第06题解析：二重积分、二重积分的简化运算

一、题目

$$
\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y +\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y = ?
$$

⟨A⟩. $\frac{5}{3}$

⟨B⟩. $\frac{5}{6}$

⟨C⟩. $\frac{7}{3}$

⟨D⟩. $\frac{7}{6}$

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题目

设 $M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$, $N$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$, $K$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{~d} x$, 则（）

⟨A⟩. $M$ $>$ $N$ $>$ $K$

⟨C⟩. $K$ $>$ $M$ $>$ $N$

⟨B⟩. $M$ $>$ $K$ $>$ $N$

⟨D⟩. $K$ $>$ $N$ $>$ $M$

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2018年考研数二第04题解析

题目

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上二阶可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x = 0$, 则 $?$

⟨A⟩. 当 $f^{\prime}(x)$ $<$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

⟨B⟩. 当 $f^{\prime \prime}(x)$ $<$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

⟨C⟩. 当 $f^{\prime}(x)$ $>$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

⟨D⟩. 当 $f^{\prime \prime}(x)$ $>$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

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2018年考研数二第03题解析

题目

设函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix} -1, x<0,\\ 1, x \geqslant 0, \end{matrix}\right.$ $g(x) = \left\{\begin{matrix} 2-ax,x \leqslant -1,\\ x, -1<x<0,\\ x-b, x \geqslant 0, \end{matrix}\right.$ 若 $f(x)+g(x)$ 在 $R$ 上连续，则 $?$

$$A. a=3,b=1$$

$$B. a=3,b=2$$

$$C. a=-3,b=1$$

$$D. a=-3,b=2$$

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