判断下面反常积分的敛散性：
(1) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
(2) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$.
(3) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$.
(4) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$.
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继续阅读“使用放缩法判断反常积分的敛散性：大缩小更缩，小散大更散”下列反常积分发散的是哪个？
(A) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$.
(B) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$.
(C) $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}}
\mathrm{~d} x$.
(D) $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$.
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继续阅读“你能找到下面哪个反常积分是发散的吗”$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n^{2}}}\right)=?
$$
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继续阅读“含有无穷多项相加的数列极限问题很可能就可以转化为积分问题”$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=?
$$
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继续阅读“不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数”已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，其特征值是 $1,3,-2$, 相应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$, 若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=?$
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继续阅读“将特征向量乘以一个倍数 k 并不会改变其原本对应的特征值”已知函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的邻域内可导, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域内单调增的 ( )
(A) 充分必要条件
(B) 必要条件但非充分条件
(C) 充分条件但非必要条件
(D) 既非必要也非充分条件
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继续阅读“你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关”已知，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right]$, 那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值是（）
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继续阅读“考研数学最重要的就是公式和计算：来算一个矩阵的特征值吧”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{5}=?$
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继续阅读“分块矩阵的 n 次方：初等矩阵的 n 次方、秩为 1 的矩阵的 n 次方”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{10}=?$
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继续阅读“秩为 1 的矩阵的 n 次方你会求解吗”下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个？
(A) $\int_{0}^{x}(|t|+t) d t$
(B) $|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$
(C) $|\tan x-\sin x|$
(D) $\sin |x|+\cos |x|$
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继续阅读“带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法”已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗？
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继续阅读“一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在”函数 $y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是（），单调减区间是（），极值是（），凹区间是（），凸区间是（）
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继续阅读“一题搞定有关函数图像的几个关键问题：单调区间，凹凸区间，极值点”已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是多少？
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继续阅读“题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值”曲线 $x=\cos ^{3} t$, $y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少？
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继续阅读“寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）”
