作者： 荒原之梦

题目

设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程 $r=\cos 3\theta$, $(-\frac{\pi }{6}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{6})$, 则 $L$ 所围平面图形的面积是 $?$

继续阅读“2013年考研数二第11题解析”

题目

设函数 $f(x)={\int }_{-1}^x\sqrt{1-e^t}dt$, 则 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=0$ 处的导数 $\frac{dx}{dy}{|}_{y=0}=?$

继续阅读“2013年考研数二第10题解析”

题目

$$\underset{x\to 0}{lim}[2–\frac{\ln (1+x)}{x}{]}^{\frac{1}{x}}=?$$

继续阅读“2013年考研数二第09题解析”

题目

设 $D_k$ 是圆域 $D=(x,y)|x^2+y^2⩽1$ 在第 $k$ 象限的部分，记 $I_k={\iint }_{D_k}(y-x)dxdy(k=1,2,3,4)$, 则 $?$

$$A.I_1>0$$

$$B.I_2>0$$

$$C.I_3>0$$

$$D.I_4>0$$

继续阅读“2013年考研数二第06题解析”

题目

设 $z=\frac{y}{x}f(xy)$, 其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=?$

$$A.2y{f}^{‘}(xy)$$

$$B.-2y{f}^{‘}(xy)$$

$$C.\frac{2}{x}f(xy)$$

$$D.-\frac{2}{x}f(xy)$$

继续阅读“2013年考研数二第05题解析”

题目

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}},1<x<e,\\ \frac{1}{x{\ln }^{a+1}x},x⩾e.\end{array}$ 若反常积分 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，则 $?$

$$A.a<-2$$

$$B.a>2$$

$$C.-2<a<0$$

$$D.0<a<2$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：

$${\int }_1^e\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛};$$

$${\int }_e^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{a+1}x}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}.$$

结合前面的公式，于是有：

$$a-1<1;$$

$$a+1>1.$$

于是：

$$0<a<2.$$

综上可知，正确选项为 $D$.

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