作者： 荒原之梦

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过汽车在公路上行驶时的加速和减速过程，来帮助同学们理解函数在一点处的可导性，或者说函数在一点处导数的存在性。

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d} \left[\int f(x) \mathrm{~d} x \right]$ $=$ $?$

一、前言

根据罗尔定理可知，如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b}]$ 上连续；在开区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b})$, 则至少有一个点 $\textcolor{#FFD966}{\xi} \in (\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$, 使得 $f^{\prime}(\textcolor{#FFD966}{\xi}) = 0$, 也就是说，$\textcolor{#FFD966}{\xi}$ 就是函数 $f(x)$ 的一个驻点。

那么，如果，$f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b}) = 0$, 也就是函数 $f(x)$ 与坐标轴的 $X$ 轴存在两个交点 $\textcolor{#3C78D8}{a}$ 和 $\textcolor{#3C78D8}{b}$ 的时候，是否就意味着在区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 上一定会存在至少一个函数 $f(x)$ 的驻点呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入图解这一问题。

一、前言

在高等数学的学习和做题中，我们常常能看到，在表述极值点的时候，只是用了横坐标，那么，极 值 点 究竟是一个“ 点 ”吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们解开疑惑。

一、前言

关于“ 驻 点 ”到底是不是一个“ 点 ”，同学们在不同的学习资料中可能看到不同的结论。在本文中，「荒原之梦考研数学」将剖析造成这种“争议”的根本原因，消除同学们在理解“驻点”这一概念时的障碍。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一张关系图，为同学们讲解清楚与原函数和其一阶导函数相关的尖点、驻点、极值点、闭区间端点和最值点这 5 个“点”之间的包含和层次关系。

一、前言

下面的函数怎么做求导操作，计算速度更快一些：

$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{3} \\ \\
y_{2} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{6}
\end{aligned}
$$

一、前言

我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：

$$
f(x + T) = f(x)
$$

其中，常数 $T \neq 0$ 就是周期函数 $f(x)$ 的最小正周期。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——

由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ $=$ $-16$, 则在点 $x = 0$ 处 $f(x)$ ( )

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 是两种核心未定式。

既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。

在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。