荒原之梦，作者荒原之梦

每日箴言：梦无止境，行则将至

没有无法逾越的高山，没有无法抵达的彼岸，纵横驰骋之间，梦想的辽阔疆域，就将徐徐展开。

2024 年 09 月 27 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：搭载着 NAS 欧罗巴快船（Europa Clipper）号航天器的 SpaceX 重型猎鹰运载火箭正在驶向位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心（Kennedy Space Center）39A 发射台。
Photographer: SpaceX
Date Created: 2024-10-12
NASA ID: KSC-20241012-PH-SPX01_0006

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

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每日箴言：越泥泞的地方越适合开枝散叶，越崎岖的地方越能够抵御霜寒

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：NASA/JPL-Caltech/ASU/SwRI

温室里中长不出甘甜的果实，只有冷酷的旷野才能历炼出矫健的猎手。

2024 年 09 月 26 日

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描述：科学家们基于 NASA 伽利略任务的数据模型和卡西尼任务的仪器数据生成了这幅木卫二的热辐射模拟图，图中浅粉色的垂直条纹所在的位置可能会有水冰和有机化学物质从冰面上的喷口喷出。
Secondary Creator Credit: NASA/JPL-Caltech/ASU/SwRI
Date Created: 2024-10-11
NASA ID: PIA26105

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0, 1)$ 内可导，且：

$f (1) = k \int_{0}^{\frac{1}{k}} x e^{1 - x} f (x) d x$

其中常数 $k > 1$ .

请证明存在 $ξ \in (0, 1)$ , 使得下式成立：

$f^{'} (ξ) = (1 - \frac{1}{ξ}) \cdot f (ξ)$

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每日箴言：相比于追求人生的上限，守住低限更重要

未来的宏图，美好的未来畅想，当然足够鼓舞人心，但是，相比于这些人生的“上限”，守住勤奋务实、光明磊落的人生“低限”是更基础也更重要的一步。

2024 年 09 月 25 日

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描述：这幅概念图展示了 NASA 的“欧罗巴快船”号航天器使用雷达探测木卫二冰壳下方结构的方式。
Credit: NASA/JPL-Caltech
数据生成时间：2024 年 10 年 11 日

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 二阶可导，且 $f^{'} (x)$ $=$ $f (n - x)$ , $f (0)$ $=$ $1$ , 则：

$f (x) = ?$

难度评级：

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每日箴言：根须是阳光在土地下的延伸

阳光不仅能照亮天空，也能幻化做密密麻麻的根须，在不见天日的大地深处蔓延，这一种潜移默化的力量，是光明战胜黑暗的佐证。

2024 年 09 月 24 日

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描述：图中展示了 NASA 喷气推进实验室进行的一项实验，该实验尝试重建火星上形成蜘蛛状地表特（araneiform terrain）的过程。
Credit: NASA/JPL-Caltech

一、题目

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x = ?$

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每日箴言：一棵草也有一棵草的坚韧，一座山也有一座山柔软

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：NASA/Woody Hoburg

无论是一棵草，还是一座山，需要坚韧的时候自当义无反顾，而当坚持不住的时候，稍稍卸下沉重的盔甲，收起高举的箭矢，蜕变成一座柔软的山，亦不为过。

2024 年 09 月 23 日

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描述：国际空间站上的一名宇航员拍摄的阿拉巴马河（Alabama River）。
Credit: NASA/Woody Hoburg
拍摄时间：2023 年 06 月 26 日

一、题目

请求解下面式子的极限：

$\begin{aligned} K_{1} & = lim_{x \to a} \frac{a^{x} - x^{a}}{x - a} \\ K_{2} & = lim_{x \to a} \frac{x^{x} - a^{a}}{x - a} \\ K_{3} & = lim_{x \to a} \frac{\tan x - \tan a}{x^{a} - a^{a}} \end{aligned}$

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每日箴言：心怀感恩，就是善待自己

把感恩的“阈值”调低一些，不要处处和世界针锋相对，这是善待他人，也是善待自己。

2024 年 09 月 22 日

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描述：NASA 的欧罗巴快船号航天器（Europa Clipper）的太阳能电池板和天线完全展开后比一个标准足球场还要大一些，该航天器长约 30.5 米，宽约 17.6 米，其目标是探索被冰封的木星的卫星欧罗巴（木卫二）。
Credit: NASA/JPL-Caltech

给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”

一、题目

已知 $y (x)$ $=$ $x^{x^{x}}$ , 则：

$y^{'} (x) = ?$

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每日箴言：未雨绸缪，方能从容不迫

未雨绸缪是一种思维方式，而思维方式很大程度上决定了一个人的过去、现在和未来。

2024 年 09 月 21 日

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描述：2024 年 03 月 20 日，一名穿着全身防护装备的“行星保护”工程师正在 NASA 喷气推进实验室的洁净室里仔细收集欧罗巴快船（Europa Clipper）号航天器的样本，以验证该航天器的生物清洁度，这样做是为了防止将地球上的微生物带去其目的地：木星的卫星欧罗巴，从而减少人类的探索活动对地外星体的污染。
Credit: NASA/JPL-Caltech

求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂

一、题目

已知 $y (x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$ , 则：

$y^{(n)} = ?$

难度评级：

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每日箴言：在有限的时空中，突破时空的桎梏

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Lockheed Martin Space

人类在时空上是渺小的，但拥有梦想并努力实践，可以让我们有能力突破时空的桎梏，无论成败，我们始终只要记住：没有什么能阻挡你的梦想！

2024 年 09 月 20 日

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描述：NASA 的月球开拓者号（Lunar Trailblazer）轨道飞行器，2024 年 08 月拍摄于科罗拉多州利特尔顿的洛克希德·马丁航天公司。
Credit: Lockheed Martin Space

作者：荒原之梦

每日箴言：梦无止境，行则将至

关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明

一、前言

每日箴言：越泥泞的地方越适合开枝散叶，越崎岖的地方越能够抵御霜寒

计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路”

一、题目

每日箴言：相比于追求人生的上限，守住低限更重要

导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成

一、题目

每日箴言：根须是阳光在土地下的延伸

明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法

一、题目

每日箴言：一棵草也有一棵草的坚韧，一座山也有一座山柔软

利用导数的定义求解式子的极限

一、题目

每日箴言：心怀感恩，就是善待自己

给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”

一、题目

每日箴言：未雨绸缪，方能从容不迫

求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂

一、题目

每日箴言：在有限的时空中，突破时空的桎梏