2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算

题目

设 $D$ 是由直线 $y = 1$, $y = x$, $y = – x$ 围成的有界区域,计算二重积分:

$$
\iint_{D} \frac{x^{2} – xy – y^{2}}{x^{2} + y^{2}}.
$$

继续阅读“2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算”

2015年考研数二第23题解析:相似矩阵、矩阵的相似对角化

题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & a
\end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$, $b$ 的值;

$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.

继续阅读“2015年考研数二第23题解析:相似矩阵、矩阵的相似对角化”

2015年考研数二第22题解析:矩阵、逆矩阵

题目

设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
a & 1 & 0\\
1 & a & -1\\
0 & 1 & a
\end{bmatrix}$, 且 $A^{3} = O$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值;

$(Ⅱ)$ 若矩阵 $X$ 满足 $X -$ $XA^{2} -$ $AX +$ $AXA^{2} =$ $E$, 其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵,求 $X$.

继续阅读“2015年考研数二第22题解析:矩阵、逆矩阵”

2015年考研数二第21题解析:导数、函数的单调性与凹凸性

题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上具有二阶导数,$f(a)=0$, $f^{‘}(x) > 0$, $f^{”}(x) > 0$, 设 $b > a$, 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点是 $(x_{0}, 0)$. 证明:$a < x_{0} < b$.

继续阅读“2015年考研数二第21题解析:导数、函数的单调性与凹凸性”

2015年考研数二第20题解析:物理应用、微分、一阶线性微分方程

题目

已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为 $120$ ℃ 的物体在 $20$ ℃ 的恒温介质中冷却,$30$ min 后该物体温度降至 $30$ ℃, 若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却多长时间?

继续阅读“2015年考研数二第20题解析:物理应用、微分、一阶线性微分方程”

2015年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式

题目

计算二重积分 $\iint_{D} x(x+y) {\rm d} x {\rm d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2} \right\}$.

继续阅读“2015年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式”

2015年考研数二第17题解析:利用二元函数的偏导数求极值、不定积分

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足:

$$
f_{xy}^{”}(x,y) = 2(y+1)e^{x},
$$

$$
f_{x}^{‘}(x,0) = (x+1)e^{x},
$$

$$
f(0,y) = y^{2} + 2y.
$$

求 $f(x,y)$ 的极值.

继续阅读“2015年考研数二第17题解析:利用二元函数的偏导数求极值、不定积分”

2015年考研数二第16题解析:定积分、旋转体的体积

题目

设 $A>0$, $D$ 是由曲线段 $y=$ $A \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2})$ 及直线 $y=0$, $x = \frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域,$V_{1}$, $V_{2}$ 分别表示 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积,若 $V_{1}=V_{2}$, 求 $A$ 的值.

继续阅读“2015年考研数二第16题解析:定积分、旋转体的体积”

2015年考研数二第15题解析:等价无穷小、麦克劳林公式

题目

设函数 $f(x)=$ $x +$ $a \ln(1+x) +$ $bx \sin x$, $g(x)=$ $kx^{3}$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小,求 $a$, $b$, $k$ 的值.

继续阅读“2015年考研数二第15题解析:等价无穷小、麦克劳林公式”

2014年考研数二第23题解析:矩阵相似性、矩阵相似对角化

题目

证明:$n$ 阶矩阵 $\begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1\\
0 & \cdots & 0 & 2\\
\vdots & & \vdots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & n
\end{bmatrix}$ 相似.

继续阅读“2014年考研数二第23题解析:矩阵相似性、矩阵相似对角化”

2014年考研数二第22题解析:齐次与非齐次线性方程组求解

题目

设 $A=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3 & -4\\
0 & 1 & -1 & 1\\
1 & 2 & 0 & -3
\end{bmatrix}$, $E$ 为三阶单位矩阵.

$(Ⅰ)$ 求方程组 $AX=0$ 的一个基础解系.

$(Ⅱ)$ 求满足 $AB=E$ 的所有矩阵 $B$.

继续阅读“2014年考研数二第22题解析:齐次与非齐次线性方程组求解”