标签： 线性代数基础

一、前言

将二次型化为标准型和规范型有两种常用的方法，一种是正交变换法，另一种是配方法（其中最常用的是拉格朗日配方法）。

但是，使用配方的一个障碍是我们有时候比较难以凑出来平方项。

在蒲和平老师主编，由北京高等教育出版社于 2014 年 08 月出版的《线性代数疑难问题选讲》一书（ISBN 978-7-04-040392-3）中，提出了一个令人耳目一新的改进的配方法：偏导数法。

在本文中，荒原之梦（zhaokaifeng.com）将对蒲和平老师的这一偏导数配方法加以通俗的解析，希望能帮助大家更加顺畅的解答有关将二次型化为标准型或者规范型的问题。

一、前言

在考研数学中，将二次型化为标准型或者规范型有两种常用的方法，即正交变换法和拉格朗日配方法。那么，拉格朗日配方法相对于正交变换法有哪些优点呢？拉格朗日配方法的具体计算步骤是怎样的呢？在计算过程中需要注意什么问题呢？

针对但不限于上面这些问题，在本文中，荒原之梦考研数学（zhaokaifeng.com）将逐一回答。

小提示：如果对拉格朗日配方法不够熟悉的话，阅读本文就需要多一点耐心，最好准备好纸和笔，跟着文中的步骤亲自计算一遍，把本文从头学到尾，你会很有收获感！

一、前言

在求解线性方程组基础解系时，到底哪些是自由未知数，哪些是非自由未知数，哪些先赋值，哪些不赋值，是不是“傻傻分不清”？背会本文这个顺口溜，就很容易记住啦！

一、前言

你知道怎么判断一个矩阵是否是正定矩阵吗？

难度评级：

一、前言

你知道在哪些形式的矩阵中，矩阵对角线上的元素就是该矩阵的特征值吗？

难度评级：

！注意： 实对称矩阵主对角线上的元素不一定是特征值。

一、前言

你知道如何判断一个矩阵是否可以相似对角化吗？

难度评级：

一、前言

如果存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1} A P = B$ 成立，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作：

$$
A \sim B
$$

那么，相似矩阵之间都有哪些性质呢？下面的内容就汇总了考研数学中所需掌握的相似矩阵的性质。

一、前言

已知 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶 可逆矩阵，以下是其性质汇总。

一、前言

你是否有这样的疑问：若一个 $n$ 阶矩阵的秩为 $k$, 那是否意味着该矩阵的任意 $k-1$ 阶子式都不为零？（其中，$k – 1 > 0$ 且 $k$ 为正整数。）

下面通过详细的分析以及一个易于理解的比喻就可以让我们搞明白这个问题。

一、前言

初等变换可以帮助我们对行列式进行化简操作，但是，在使用初等变换化简行列式的时候也要注意，因为，初等变换是有可能改变行列式原本数值的哦~

一、前言

我们都知道，$3$ 阶行列式是可以利用主副对角线计算出具体数值的，高于 $3$ 阶的 $n$ 阶行列式虽然不能这么计算，但是也有自己的计算公式——借助“逆序”这一工具，我们可以求解任意阶数的行列式的值。

Tips

关于逆序数的计算方法， 可以参考《你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？》这篇文章。

一、前言

你知道为什么当矩阵各行元素之和等于一个数 $a$ 时，$a$ 就是一定是该矩阵的特征值之一吗？

一、前言

线性相关的向量组内各个向量一定都能互相线性表出吗？不一定哦！

一、前言

我们知道：

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A| \neq 0$

但你知道为什么会有上面这个关系吗？