$y+1$ 或 $x+1$ 的积分怎么算?

根据不同的计算思路,$\int (y+1) dy$ 或 $\int (x+1) dx$ 会呈现出两种看上去“不同”的计算结果,本文将以 $\int (y+1) dy$ 为例,对这一现象进行分析。

对 $y+1$ 进行积分的具体应用案例,可以参考:《2015年考研数二第17题解析

计算方式一

$$
\int (y+1) dy \Rightarrow
$$

$$
\int (y+1) d(y+1) \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} (y+1)^{2} + C_{1} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} (y^{2} + 1 + 2y) + C_{1} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} (y^{2} + 2y) + \frac{1}{2} + C_{1}. ①
$$

其中,$C_{1}$ 为任意常数。

计算方式二

$$
\int (y+1) dy \Rightarrow
$$

$$
\int y dy + \int 1 dy \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{2}. ②
$$

其中,$C_{2}$ 为任意常数。

总结

对比上述两种计算方式,得到的 $①$ 式和 $②$ 式:

$$
①: \frac{1}{2} (y^{2} + 2y) + \frac{1}{2} + C_{1}.
$$

$$
②: \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{2}.
$$

可知:

$$
C_{2} = C_{1} + \frac{1}{2}.
$$

也就是说,上述两种计算方式所得的计算结果看上去不同的原因就是,积分结果后面跟的“任意常数”不同。