[高数]极限环境下 “0 正” 除以 “0 负” 等于多少?

前言

本文要讨论的是:极限环境下 “$0$ 正” 除以 “$0$ 负” 等于多少?

也就是讨论:

$$
\lim \frac{0^{+}}{0^{-}} = ?
$$

正文

(下面的部分表述具有“主观经验主义”的性质,仅作为理解某些数学原理时的参考,不具有数学意义上的正确性。)

无论除以 $0^{+}$ 还是除以 $0^{-}$, 其实都是除以 $0$. 在非极限环境下,讨论除以 $0$ 等于多少是没有意义的。但是,在求极限的题目中,我们经常可以遇到分母的【极限】为 $0$ 的式子并且这些式子往往还存在极限值。也就是说,极限环境下的【趋于零】和普通的【等于零】是有区别的——【趋于零】的时候既具有【等于零】时候的性质,也具有【不等于零】时候的性质。

至于什么时候使用【趋于零】中包含的【等于零】的性质,什么时候使用【趋于零】中包含的【不等于零】的性质,取决于用哪个性质能让当前的计算变得有意义且符合运算逻辑。

在本文中,如果要让 $\lim \frac{0^{+}}{0^{-}}$ 有意义,很显然,要使用【趋于零】中【不等于零】的性质。

我们知道,在数轴上,分布于 $0$ 点左右两侧且距 $0$ 点的距离相等的两个点对应的数值相除的话,其值等于 $-1$. 例如:

$$
\frac{-2}{2} = -1;
$$

$$
\frac{3}{-3} = -1,.
$$

由于极限环境下 $0^{+}$ 和 $0^{-}$ 都不等于 $0$ 且对称地部分在数轴上 $0$ 点的左右两侧,因此,我们有:

$$
\lim \frac{0^{+}}{0^{-}} = -1.
$$

同理:

$$
\lim \frac{0^{-}}{0^{+}} = -1;
$$

$$
\lim \frac{0^{+}}{0^{+}} = 1;
$$

$$
\lim \frac{0^{-}}{0^{-}} = 1.
$$