2012年考研数二第13题解析

题目

曲线 $y=x^{2} + x (x<0)$ 上曲率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点的坐标为 $?$

解析

由题得:

$$
y^{‘} = 2x + 1;
$$

$$
y^{”} = 2.
$$

设满足条件的点的坐标为 $(x_{0},y_{0})$.

则:

$$
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{[1+(2x_{0}+1)^{2}]^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow
$$

$$
4 = \sqrt{2}\sqrt{[1+(2x_{0} + 1)^{2}]^{3}} \Rightarrow
$$

$$
16 = 2 [1+(2x_{0} + 1)^{2}]^{3} \Rightarrow
$$

$$
8 = [1+(2x_{0} + 1)^{2}]^{3} \Rightarrow
$$

$$
2 = [1+(2x_{0} + 1)^{2}] \Rightarrow
$$

$$
1 = (2x_{0} + 1)^{2} \Rightarrow
$$

$$
x_{0} = 0;
$$

或者:

$$
x_{0} = -1.
$$

又 $x<0$, 于是:

$$
x_{0} = -1;
$$

$$
y_{0} = 0.
$$

综上可知,正确答案为 $(-1,0)$.