题目
设 $\alpha_{1} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
c_{1}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{2} = \begin{pmatrix}
0\\
1\\
c_{2}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{3} = \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
c_{3}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{4} = \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
c_{4}
\end{pmatrix}$, 其中 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组中线性相关的是 $?$
$$
A. \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$
$$
B. \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}
$$
$$
C. \alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$
$$
D. \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$
解析
方法一
既然题中说 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数，那么，我们可以尝试用特例法做本题。
设：
$$
c_{1} = c_{2} = c_{3} = c_{4} = 0.
$$
则有：
$$
\alpha_{1} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
\alpha_{2} = \begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
\alpha_{3} = \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
\alpha_{4} = \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
$$
首先，零向量 $\alpha_{1}$ 和任意一个矩阵都线性相关，因为任意一个向量只要乘上一个系数 $0$, 就会得零向量。由此可以排除 $D$ 选项（只有 $D$ 选项不包含 $\alpha_{1}$, 根据命题规律，也基本可以确定 $D$ 不可能是正确选项）：
$$
\alpha_{1} = 0 \times \alpha_{2};
$$
$$
\alpha_{1} = 0 \times \alpha_{3};
$$
$$
\alpha_{1} = 0 \times \alpha_{4}.
$$
又：
$$
(-1) \times \alpha_{3} = \alpha_{4};
$$
$$
(-1) \times \alpha_{4} = \alpha_{3}.
$$
于是有：
$$
\alpha_{3} + \alpha_{4} + \alpha_{1} = 0.
$$
即，$\alpha_{1}$, $\alpha_{3}$, $\alpha_{4}$ 线性相关。
方法二
如果组成一个行列式的行或列所对应的行向量或者列向量存在线性相关的情况，则这个行列式的值一定等于零，又：
$$
|\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}| =
$$
$$
\begin{vmatrix}
0 & 1& -1\\
0 & -1& 1\\
c_{1}& c_{3}& c_{4}
\end{vmatrix} =
$$
$$
\begin{vmatrix}
0 & 0& 0\\
0 & -1& 1\\
c_{1}& c_{3}& c_{4}
\end{vmatrix} = 0.
$$
于是，$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关。
方法三
题中问我们的是哪个选项对应的【向量组】是线性相关的，而不是问哪个向量和哪个向量之间是线性相关的。书本上关于多个【向量】组成的【向量组】的线性相关性的定义中说：
“一个向量组线性相关的充分必要条件是，在这个向量组中至少存在一个向量可有【其余】向量线性表示。”
也就是说，只要在一个向量组中找到一个线性相关的组合，那么这个向量组就是线性相关的，但需要注意的，这个【线性相关的组合】必须包含这个向量组中【所有的向量】，只说明这个向量组中个别向量之间具有线性相关的关系是不能说明这个向量组线性相关的。
又：
$$
\alpha_{3} + \alpha_{4} =
$$
$$
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
c_{3} + c_{4}
\end{pmatrix}
$$
而且，肯定存在一个常数 $k$, 使得下式成立：
$$
c_{1} = k(c_{3} + c_{4}).
$$
于是：
$$
\alpha_{1} = k(\alpha_{3} + \alpha_{4}) =
$$
$$
\alpha_{1} = k \alpha_{3} + k \alpha_{4}.
$$
即，$\alpha_{1}$ 可由 $\alpha_{3}$ 和 $\alpha_{4}$ 线性表示，因此，由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{3}$, $\alpha_{4}$ 组成的向量组就是一个线性相关的向量组。
综上可知，正确选项为 $C$.
EOF