2014年考研数二第13题解析

题目

一根长为 $1$ 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上,若其线密度 $\rho (x) = – x^{2} + 2x + 1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x} = ?$

解析

由题可知,要求质心坐标的其实就是一条位于 $x$ 轴上 $[0,1]$ 区间内的“直线”,因此,它的质心坐标只有 $\bar{x}$, 没有 $\bar{y}$.

又知:

$$
\bar{x} = \frac{\int_{L} x \rho ds}{\int_{L} \rho ds}.
$$

通常情况下:

$$
ds = \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}}.
$$

但在本题中,细棒是直接位于 $x$ 轴上的,因此:

$$
ds = dx.
$$

于是:

$$
\bar{x} = \frac{\int_{L} x \rho dx}{\int_{L} \rho dx}.
$$

又:

$$
\int_{L} \rho dx =
$$

$$
\int_{0}^{1} (- x^{2} + 2x + 1) dx =
$$

$$
-\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + x |_{0}^{1} =
$$

$$
\frac{5}{3}.
$$

$$
\int_{L} x \rho dx =
$$

$$
\int_{0}^{1} (-x^{3} + 2x^{2} + x) dx =
$$

$$
-\frac{1}{4}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} |_{0}^{1} =
$$

$$
\frac{11}{12}.
$$

于是:

$$
\bar{x} = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{5} =
$$

$$
\frac{11}{20}.
$$

综上可知,正确答案为 $\frac{11}{20}$.

EOF


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