2016年考研数二第13题解析

题目

已知动点 $P$ 在曲线 $y=x^{3}$ 上运动,记坐标原点与点 $P$ 间的距离为 $l$. 若点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_{0}$, 则当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时,$l$ 对时间的变化率是 $?$

解析

本题属于应用题。做应用题的一个首要步骤就是将题中的描述转化成我们学过的数学语言。

我们设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$, 则有:

$$
l = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
$$

又:

$$
y = x^{3}.
$$

于是:

$$
l = \sqrt{x^{2} + x^{6}}.
$$

又点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_{0}$ 就相当于在 $P$ 这一点处的一个【极小的】邻域内对应投影于 $x$ 的变化区域除以产生这些变化所需的时间 $t$, 写成数学语言就是:

$$
\frac{dx}{dt} = v_{0}.
$$

同时,从这里我们可以看出,$x$ 相当于 $t$ 的一个函数。

而题中要求的是【极小的】$l$ 长度上的变化除以产生这段变化所需的时间 $t$, 写成数学语言就是:

$$
\frac{dl}{dt}.
$$

于是,我们有:

$$
\frac{dl}{dt} =
$$

$$
\frac{d(\sqrt{x^{2} + x^{6}})}{dt} =
$$

$$
\frac{d(\sqrt{x^{2} + x^{6}})}{dx} \frac{dx}{dt} =
$$

$$
\frac{d(\sqrt{x^{2} + x^{6}})}{dx} v_{0} =
$$

$$
(\sqrt{x^{2} + x^{6}}){x}^{‘} v{0} =
$$

$$
[(x^{2} + x^{6})^{\frac{1}{2}}]{x}^{‘} v{0} =
$$

$$
\frac{1}{2}(x^{2} + x^{6})^{- \frac{1}{2}}(x^{2} + x^{6}){x}^{‘} v{0} =
$$

$$
\frac{1}{2}(x^{2} + x^{6})^{- \frac{1}{2}}(2x + 6x^{5}) v_{0}.
$$

于是,当 $x=1$ 时,有:

$$
\frac{dl}{dt} =
$$

$$
\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} (2+6) v_{0} =
$$

$$
\frac{8}{2 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}.
$$

综上可知,正确答案为 $2 \sqrt{2}$.

EOF