题目
编号：A2016211
以 $y=x^{2}-e^{x}$ 和 $y=x^{2}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $?$
解析
方法一：
无论是通解还是特解，都是微分方程的解，因此，都可以带入到对应的微分方程中并使之成立。
设该微分方程为：
$$
y^{‘} + p(x)y = q(x). ①
$$
将 $y=x^{2}-e^{x}$ 和 $y=x^{2}$ 带入 $①$ 式中，得：
$$
2x – e^{x} + p(x) (2x – e^{x}) = q(x); ②
$$
$$
2x + p(x) x^{2} = q(x). ③
$$
联立 $②$, $③$ 两式得：
$$
p(x) = -1;
$$
$$
q(x) = 2x – x^{2}.
$$
于是，要求的微分方程为：
$$
y^{‘} – y = 2x – x^{2}.
$$
方法二：
根据微分方程解的结构可以知道，若 $y_{1}$, $y_{2}$ 为非齐次方程的解，则 $y_{1} – y_{2}$ 为对应的齐次方程的解。
于是：
$$
y = (x^{2} – e^{x}) – (x^{2}) =
$$
$$
-e^{x}.
$$
为 $y^{‘} + p(x)y = 0$ 的解，代入可得：
$$
-e^{x} + p(x) (-e^{x}) = 0 \Rightarrow
$$
$$
(-e^{x})p(x) = e^{x} \Rightarrow
$$
$$
p(x) = -1.
$$
于是有：
$$
y^{‘} – y = q(x) ④
$$
将 $y=x^{2}$ 带入 $④$ 式得：
$$
2x – x^{2} = q(x) \Rightarrow
$$
$$
q(x) = 2x – x^{2}.
$$
于是，要求的微分方程为：
$$
y^{‘} – y = 2x – x^{2}.
$$
综上可知，正确答案为 $y^{‘} – y = 2x – x^{2}$.
EOF