题目
编号：A2016211
以 $y=x^{2} – \mathrm{e}^{x}$ 和 $y=x^{2}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $?$
解析
方法一：
无论是通解还是特解，都是微分方程的解，因此，都可以带入到对应的微分方程中并使之成立。
设该微分方程为：
$$
y^{\prime} + p(x)y = q(x) ①
$$
将 $y=x^{2} – \mathrm{e}^{x}$ 和 $y=x^{2}$ 带入 $①$ 式中，得：
$$
2x – \mathrm{e}^{x} + p(x) (2x – \mathrm{e}^{x}) = q(x) ②
$$
$$
2x + p(x) x^{2} = q(x) ③
$$
联立 $②$, $③$ 两式得：
$$
p(x) = -1
$$
$$
q(x) = 2x – x^{2}
$$
于是，要求的微分方程为：
$$
y^{\prime} – y = 2x – x^{2}
$$
方法二：
根据微分方程解的结构可以知道，若 $y_{1}$, $y_{2}$ 为非齐次方程的解，则 $y_{1} – y_{2}$ 为对应的齐次方程的解。
于是：
$$
y = (x^{2} – \mathrm{e}^{x}) – (x^{2}) = -e^{x}
$$
为 $y^{\prime} + p(x)y = 0$ 的解，代入可得：
$$
-\mathrm{e}^{x} + p(x) (-\mathrm{e}^{x}) = 0 \Rightarrow
$$
$$
(-\mathrm{e}^{x})p(x) = \mathrm{e}^{x} \Rightarrow
$$
$$
p(x) = -1
$$
于是有：
$$
y^{\prime} – y = q(x) ④
$$
将 $y=x^{2}$ 带入 $④$ 式得：
$$
2x – x^{2} = q(x) \Rightarrow
$$
$$
q(x) = 2x – x^{2}
$$
于是，要求的微分方程为：
$$
y^{\prime} – y = 2x – x^{2}
$$
综上可知，正确答案为 $y^{\prime} – y = 2x – x^{2}$.
EOF