2016年考研数二第11题解析

题目

编号：A2016211

以 $y=x^2-e^x$ 和 $y=x^2$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $?$

解析

方法一：

无论是通解还是特解，都是微分方程的解，因此，都可以带入到对应的微分方程中并使之成立。

设该微分方程为：

$$y^{‘}+p(x)y=q(x).\mathrm{①}$$

将 $y=x^2-e^x$ 和 $y=x^2$ 带入 $\mathrm{①}$ 式中，得：

$$2x–e^x+p(x)(2x–e^x)=q(x);\mathrm{②}$$

$$2x+p(x)x^2=q(x).\mathrm{③}$$

联立 $\mathrm{②}$, $\mathrm{③}$ 两式得：

$$p(x)=-1;$$

$$q(x)=2x–x^2.$$

于是，要求的微分方程为：

$$y^{‘}–y=2x–x^2.$$

方法二：

根据微分方程解的结构可以知道，若 $y_1$, $y_2$ 为非齐次方程的解，则 $y_1–y_2$ 为对应的齐次方程的解。

于是：

$$y=(x^2–e^x)–(x^2)=$$

$$-e^x.$$

为 $y^{‘}+p(x)y=0$ 的解，代入可得：

$$-e^x+p(x)(-e^x)=0\Rightarrow$$

$$(-e^x)p(x)=e^x\Rightarrow$$

$$p(x)=-1.$$

于是有：

$$y^{‘}–y=q(x)\mathrm{④}$$

将 $y=x^2$ 带入 $\mathrm{④}$ 式得：

$$2x–x^2=q(x)\Rightarrow$$

$$q(x)=2x–x^2.$$

于是，要求的微分方程为：

$$y^{‘}–y=2x–x^2.$$

综上可知，正确答案为 $y^{‘}–y=2x–x^2$.

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