2016年考研数二第03题解析

题目

反常积分 $① \int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} dx$, $② \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} dx$ 的敛散性为 $?$

$$A. ① 收敛,② 收敛$$

$$B. ① 收敛,② 发散$$

$$C. ① 发散,② 收敛$$

$$D. ① 发散,② 发散$$

解析

对于反常积分敛散性的判别,除了可以尝试使用反常积分敛散性的性质之外,还可以尝试直接求积分,根据积分结果判断是收敛还是发散。

由于:

$$
(e^{\frac{1}{x}})^{‘} =
$$

$$
e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}}) =
$$

$$
(-1)e^{\frac{1}{x}}(\frac{1}{x^{2}}).
$$

于是:

$$
\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
(-1) e^{\frac{1}{x}} |_{- \infty}^{0^{-}} =
$$

$$(-1)[e^{\frac{1}{0^{-}}} – e^{\frac{1}{- \infty}}] (Ⅰ)$$

注意:由于 $\frac{1}{0}$ 是无意义的,因此,这里取的是 $x \rightarrow 0^{-}$, 同样地,下面会用到 $x \rightarrow 0^{+}$.

$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} dx =
$$

$$
(-1)e^{\frac{1}{x}} |_{0^{+}}^{+ \infty} =
$$

$$(-1)[e^{\frac{1}{+  \infty}} – e^{\frac{1}{0^{+}}}] (Ⅱ)$$

又:

$$
\frac{1}{ + \infty} = \frac{1}{- \infty} = 0.
$$

$$
\frac{1}{0^{-}} = – \infty.
$$

$$
\frac{1}{0^{+}} = + \infty.
$$

于是:

$$
(Ⅰ) \Rightarrow
$$

$$
(-1)[e^{\frac{1}{0^{-}}} – e^{\frac{1}{- \infty}}] =
$$

$$
(-1)[e^{- \infty} – e^{0}] =
$$

$$
(-1)[0 – 1] = 1.
$$

$$
(Ⅱ) \Rightarrow
$$

$$
(-1)[e^{\frac{1}{+ \infty}} – e^{\frac{1}{0^{+}}}] =
$$

$$
(-1)[e^{0} – e^{+ \infty}] =
$$

$$
(-1)[1- (+\infty)] =
$$

$$
+ \infty.
$$

于是可知:

$①$ 式收敛,$②$ 式发散。

综上可知,正确答案为 $B$.

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