2018年考研数二第08题解析

题目

设 $A$, $B$ 为 $n$ 阶矩阵,记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩,$(X,Y)$ 表示分块矩阵,则 $?$

$$A. r(A,AB)=r(A)$$

$$B. r(A,BA)=r(A)$$

$$C. r(A,B)= \max \{ r(A), r(B) \}$$

$$D. r(A,B) = r(A^{\top}, B^{\top})$$

解析

考研选择题的正确选项一般会在相似的选项中产生,因为相似的选项更具有迷惑性,想从相似的选项中找出正确的选项更加困难。但是,这个规律也不是绝对的,只能用于辅助判断或者帮助确定先分析哪个选项后分析哪个选项以提高解题速度。

观察可知,$C$ 与 $D$ 两个选项与其他选项都不相似,$A$ 与 $B$ 两个选项极为相似,因此,正确选项应该会在 $A$ 与 $B$ 中产生,因此,先分析 $A$ 与 $B$.

如果您对行满秩及列满秩的性质不熟悉,则可以先看一下如下这篇文章:

《[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质》

$A$ 项:

$$
r(A,AB) = r(AE,AB) = r[A(E,B)].
$$

由于 $(E,B)$ 是一个行满秩矩阵,因此:

$$
r(A,AB) = r(A).
$$

$B$ 项:

$$
r(A,BA) = r(EA,BA) = r[(E,B)A].
$$

由于 $(E,B)$ 是一个行满秩矩阵而不是一个列满秩矩阵,因此:

$$
r(A,AB) \nRightarrow r(A).
$$

举例说明如下:

例如存在一个 $2 \times 3$ 的行满秩矩阵 $K$, 还有一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $F$, 则 $KF$ 就【可看作】 $F$ 左乘了一个 $2 \times 2$ 的满秩可逆方阵,很显然,这并不能得出 $r(KF) = r(F)$ 的结论。因为,矩阵 $F$ 是一个 $3 \times 3$ 的矩阵,$F$ 只有在左乘或者右乘一个【可看作】 $3 \times 3$ 的可逆方阵的时候才会保持自身的秩不变。

$C$ 项:

由下面的定理知 $C$ 项错误:

$$
\max \{ r(A) + r(B) \}\leqslant r(A,B) \leqslant r(A) + r(B).
$$

$D$ 项:

转置不改变矩阵的秩,但是一个矩阵的转置指的是对其整体做一次转置,拼接矩阵 $(A,B)$ 的转置应该是 $(A,B)^{\top}$ 而不是 $(A^{\top},B^{\top})$, 因此,$D$ 项错误。

综上可知,正确选项为 $A$.

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