[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质

一、名词解释

1.

矩阵有效的行数,也就是线性无关的行的个数。

2.

矩阵有效的列数,也就是线性无关的列的个数。

3.

一个矩阵行满秩或者列满秩(满足一个即可)就称为满秩矩阵。

这里需要注意的是,并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然,只要一个矩阵行满秩(列满秩),那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数(列数)的方阵了,自然也不会存在阶数大于其行数(列数)的非零方阵。

4. $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{red}{=}$

无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵,都有如下性质:

行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。

对此我们可以这样理解:由于转置并不改变矩阵的秩,因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。

二、性质

若 $A$ 【行】满秩,则:

$$
R(BA)=R(B).
$$

若 $A$ 【列】满秩,则:

$$
R(AB)=R(B).
$$

三、性质解释

下面对上述性质的解释并不是严格的数学推导,而是通过合理的思考方式,在能够自圆其说的情况下,对上述性质做形象化的解释以帮助记忆和使用上述性质。

当 $A$ 【行】满秩时,对 $R(BA)=R(B)$ 的理解为:

图 1

当 $A$ 【列】满秩时,对 $R(AB)=R(B)$ 的理解为:

图 2

考研数学思维导图 | 荒原之梦
考研数学思维导图 | 荒原之梦

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

EOF