[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质

名词解释

  • 行满秩

矩阵有效的行数,也就是线性无关的行的个数。

  • 列满秩

矩阵有效的列数,也就是线性无关的列的个数。

  • 满秩

一个矩阵行满秩或者列满秩(满足一个即可)就称为满秩矩阵。

这里需要注意的是,并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然,只要一个矩阵行满秩(列满秩),那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数(列数)的方阵了,自然也不会存在阶数大于其行数(列数)的非零方阵。

  • 行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩

无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵,都有如下性质:

行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。

对此我们可以这样理解:由于转置并不改变矩阵的秩,因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。

性质

若 $A$ 【行】满秩,则:

$$
R(BA)=R(B).
$$

若 $A$ 【列】满秩,则:

$$
R(AB)=R(B).
$$

性质解释

下面对上述性质的解释并不是严格的数学推导,而是通过合理的思考方式,在能够自圆其说的情况下,对上述性质做形象化的解释以帮助记忆和使用上述性质。

当 $A$ 【行】满秩时,对 $R(BA)=R(B)$ 的理解为:

图 1

当 $A$ 【列】满秩时,对 $R(AB)=R(B)$ 的理解为:

图 2

EOF