泰勒公式的推导过程

一、前言

由于多项式函数在计算函数值、求导和积分这些方面都比较容易，所以，如果可以用一个或者多个多项式近似刻画某个其他函数在某个点附近的函数图象，那么，就可以在特定情况下，降低计算的复杂度，实现这一目标的一个公式就是：泰勒公式.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的推导过程，帮助同学们理解泰勒公式的构建过程和细节.

二、正文

§2.1 多项式逼近的基本思想

设函数 $f \left( x \right)$ 在点 $a$ 附近具有足够阶数的导数，则我们希望构造一个如下这样的 $n$ 次多项式：

$$
\textcolor{orange}{
P_{n}\left( x \right) = c_{0} + c_{1}\left( x-a \right) + c_{2}\left( x-a \right)^{2} + \cdots + c_{n}\left( x-a \right)^{n} } \tag{1}
$$

使得上面这个式子可以在 $x=a$ 附近尽可能贴近函数 $f \left( x \right)$.

那么，如何定义这里的“贴近”呢？

在函数图象中，所谓的“贴近”，就是需要满足下面这两个条件：

两者的函数值相等，即 $P_{n} \left( a \right) = f \left( a \right)$；
两者在该点的一阶导、二阶导直至 $n$ 阶导都分别相等，即 $P_{n}^{(k)} \left( a \right) = f^{(k)} \left( a \right)$.

其中，$k=0, 1, \ldots, n$.

§2.2 泰勒多项式系数的确定

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 为了满足上面“§2.1”章节中得要求，我们先令 $x=a$, 此时，上面的 $\left( 1 \right)$ 式中含有 $\left( x-a \right)$ 的各项均为零，所以：

$$
P_{n}\left( a \right) = c_{0} = f\left( a \right)
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，对 $P_{n}$ 求导并令 $x=a$, 由于此时只有一阶导的项不含有 $\left( x-a \right)$, 所以，只有一阶导的项产生的常数保留下来，因此：

$$
P_{n} ^{\prime} \left( a \right)=c_{1}=f ^{\prime} \left( a \right)
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，再求一次导数，由于此时只有二阶导的项不含有 $\left( x-a \right)$, 所以，只有二阶导的项产生的常数保留下来，因此：

$$
P_{n} ^{\prime \prime} \left( a \right) = 2!c_{2} = f ^{\prime \prime} \left( a \right), \qquad c_{2} = \frac{f ^{\prime \prime} \left( a \right)}{2!}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 类推可知，一般地，对多项式求 $k$ 阶导数并令 $x=a$, 次数低于 $k$ 的项会直接消失，次数高于 $k$ 的项仍含有 $\left( x-a \right)$, 只有第 $k$ 项自己会保留下来：

$$
P_{n}^{(k)}\left( a \right) = k!c_{k}
$$

同时，由 $P_{n}^{(k)}\left( a \right) = f^{(k)}\left( a \right)$ 可得：

$$
c_{k} = \frac{f^{(k)}\left( a \right)}{k!}
$$

因此，函数 $f$ 在点 $a$ 处的 $n$ 阶泰勒多项式为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
T_{n}\left( x \right) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}\left( a \right)}{k!}\left( x-a \right)^{k}
}
$$

展开写出前几项就是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
T_{n}\left( x \right) = f\left( a \right) + f ^{\prime} \left( a \right)\left( x-a \right) + \frac{f ^{\prime \prime} \left( a \right)}{2!}\left( x-a \right)^{2} + \cdots + \frac{f^{(n)}\left( a \right)}{n!}\left( x-a \right)^{n}
}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 此外，当 $a=0$ 时，上式退化为麦克劳林多项式：

$$
T_{n}\left( x \right) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
$$

§2.3 有限阶泰勒公式的余项

从上面的推导过程可知，泰勒公式的匹配精度与求导的次数有关. 因此，如果我们只进行前面几次求导，那么，就必须补充一个“误差”才可以和真实的函数保持一致，这里的“误差”就是“余项”——也就是原函数与泰勒多项式之间的差：

$$
R_{n}\left( x \right) = f\left( x \right)-T_{n}\left( x \right)
$$

于是，有限阶泰勒公式可以写成：

$$
f \left( x \right) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( a \right)}{k!}\left( x-a \right)^{k}+R_{n}\left( x \right)
$$

不同形式的余项精度不同，适用的问题也不同，其中最常用的是佩亚诺余项和拉格朗日余项.

§2.3.1 佩亚诺余项

如果函数 $f \left( x \right)$ 在点 $a$ 处具有 $n$ 阶导数，则当 $x \to a$ 时，余项定义为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
R_{n}\left( x \right)=o\bigl(\left( x-a \right)^{n}\bigr)
}
$$

这表示余项相对于 $\left( x-a \right)^{n}$ 是更高阶的无穷小，即：

$$
\lim_{x \to a}\frac{R_{n}\left( x \right)}{\left( x-a \right)^{n}} = 0
$$

佩亚诺余项适合研究局部等价和极限，但通常不给出具体的误差上界.

§2.3.2 拉格朗日余项

若函数 $f \left( x \right)$ 在包含 $a$ 与 $x$ 的闭区间上具有 $n$ 阶连续导数，并在区间内部具有 $n+1$ 阶导数，则存在介于 $a$ 与 $x$ 之间的某个点 $\xi$, 使得余项可以定义为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
R_{n}\left( x \right) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left( x-a \right)^{n+1}
}
$$

上面这个余项式子可以由罗尔定理推出——

对固定的 $x$, 令：

$$
K = \frac{f\left( x \right)-T_{n}\left( x \right)}{\left( x-a \right)^{n+1}}
$$

并构造辅助函数：

$$
G(t) = f(t)-T_{n}(t)-K(t-a)^{n+1}
$$

由泰勒多项式的构造可知，$G\left( a \right)=G ^{\prime} \left( a \right) = \cdots = G^{(n)}\left( a \right) = 0$；由 $K$ 的定义又有 $G\left( x \right) = 0$. 连续应用 $n+1$ 次罗尔定理，可得某个介于 $a$ 与 $x$ 之间的 $\xi$ 满足 $G^{(n+1)}(\xi)=0$.由于 $T_{n}^{(n+1)}(t)=0$, 所以：

$$
f^{(n+1)}(\xi)-(n+1)!K = 0
$$

将 $K$ 代回，便得到拉格朗日余项公式.

此外，若区间内满足：

$$
\left|f^{(n+1)}(t)\right| \leqslant M
$$

则可根据拉格朗日余项进一步得到如下误差估计：

$$
\left|R_{n}\left( x \right)\right| \leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}
$$