一元函数一点处极限的运算之相除运算

一、运算关系

设函数 $f\left(x\right)$ 和函数 $g\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 其中 $B \neq 0$, 则下式成立：

$$
\lim_{{x \to x_{{0}}}} \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \frac{A}{B}
$$

其中，$B \neq 0$.

二、运算关系的证明

已知 $\lim\limits_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A$, $\lim\limits_{x \to x_{0}} g \left(x\right) = B$, 其中 $B \neq 0$.

又由于 $\frac{f \left(x\right)}{g \left(x\right)} = f \left(x\right) \cdot \frac{1}{g \left(x\right)}$, 所以，只需证明 $\lim\limits_{x \to x_{0}} \frac{1}{g \left(x\right)} = \frac{1}{B}$, 就可以证明极限除法运算.

于是，任取 $\varepsilon > 0$, 因为 $B \neq 0$, 所以：

$$
\min \left\{
\frac{\left|B\right|}{2},
\frac{\varepsilon \left|B\right|^{2}}{2}
\right\} > 0
$$

又因为 $\lim\limits_{x \to x_{0}} g \left(x\right) = B$, 所以，根据极限的定义，存在 $\delta > 0$, 当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\left|g \left(x\right) – B\right| < \min \left\{ \frac{\left|B\right|}{2}, \frac{\varepsilon \left|B\right|^{2}}{2} \right\}
$$

即：

$$
\left|g \left(x\right) – B\right| < \frac{\left|B\right|}{2}
$$

且：

$$
\left|g \left(x\right) – B\right| < \frac{\varepsilon \left|B\right|^{2}}{2}
$$

于是，结合三角不等式，得：

$$
\begin{aligned}
\left|g \left(x\right)\right|
& \geqslant \left|B\right| – \left|g \left(x\right) – B\right| \\ \
& > \left|B\right| – \frac{\left|B\right|}{2} \\ \
& = \frac{\left|B\right|}{2} > 0
\end{aligned}
$$

接着：

$$
\begin{aligned}
\left| \frac{1}{g \left(x\right)} – \frac{1}{B} \right| & = \left| \frac{B – g \left(x\right)} {B g \left(x\right)} \right| \\ \
& = \frac{ \left|g \left(x\right) – B\right| }{
\left|B\right| \cdot \left|g \left(x\right)\right| } \\ \
& < \frac{ \left|g \left(x\right) – B\right| }{ \left|B\right| \cdot \dfrac{\left|B\right|}{2} } \\ \
& = \frac{2}{\left|B\right|^{2}} \left|g \left(x\right) – B\right|
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\left|g \left(x\right) – B\right| < \frac{\varepsilon \left|B\right|^{2}}{2}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
\left| \frac{1}{g \left(x\right)} – \frac{1}{B} \right|
& < \frac{2}{\left|B\right|^{2}} \cdot \frac{\varepsilon \left|B\right|^{2}}{2} \\ \
& = \varepsilon
\end{aligned}
$$

因此：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim\limits_{x \to x_{0}} \frac{1}{g \left(x\right)} = \frac{1}{B}
}
$$

又因为：

$$
\frac{f \left(x\right)}{g \left(x\right)} = f \left(x\right) \cdot \frac{1}{g \left(x\right)}
$$

根据极限的相乘运算法则，得：

$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x \to x_{0}}
\frac{f \left(x\right)}{g \left(x\right)} & = \lim\limits_{x \to x_{0}} \left( f \left(x\right) \cdot \frac{1}{g \left(x\right)} \right) \\ \
& = \left( \lim\limits_{x \to x_{0}} f \left(x\right) \right) \left( \lim\limits_{x \to x_{0}} \frac{1}{g \left(x\right)} \right) \\ \
& = A \cdot \frac{1}{B} \\ \
& = \frac{A}{B}
\end{aligned}
$$

综上可知，下式得证：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim\limits_{x \to x_{0}} \frac{f \left(x\right)}{g \left(x\right)} = \frac{A}{B}
}
$$

其中，$B \neq 0$.

三、推论

在上述定理运算关系的证明中，我们事实上还证明了如下推论：

若 $\lim_{{x \to x_{{0}}}} g\left(x\right) = B \neq 0$, 则下式成立：

$$
\lim_{{x \to x_{{0}}}} \frac{1}{g\left(x\right)} = \frac{1}{B}
$$

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