一元函数一点处极限的运算之相加运算

一、运算关系

设函数 $f\left(x\right)$ 和函数 $g\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 则下式成立：

$$
\lim_{{x \to x_{{0}}}} \left[\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right] = \alpha \cdot A + \beta \cdot B
$$

其中，$\alpha$, $\beta$ 为常数.

二、运算关系的证明

已知 $\lim_{{x \to x_{{0}}}} f\left(x\right) = A$, $\lim_{{x \to x_{{0}}}} g\left(x\right) = B$, 因此，$\forall \varepsilon > 0$:

• $\exists \delta_{{1}} > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{1}}\right)$, 使得 $\left|f\left(x\right) – A\right| < \varepsilon$；
• $\exists \delta_{{2}} > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{2}}\right)$, 使得 $\left|g\left(x\right) – B\right| < \varepsilon$.

取 $\delta = \min \left\{\delta_{{1}}, \delta_{{2}}\right\}$, 由当三角不等式可知，当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|\left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) – \left(\alpha \cdot A + \beta \cdot B\right)\right| \\ \
\leqslant & \ \left|\alpha\right| \cdot \left|f\left(x\right) – A\right| + \left|\beta\right| \cdot \left|g\left(x\right) – B\right| \\ \
< & \ \left(\left|\alpha\right| + \left|\beta\right|\right) \cdot \varepsilon \to 0 \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left|\left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) – \left(\alpha \cdot A + \beta \cdot B\right)\right| \to 0 \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ \left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) = \left(\alpha \cdot A + \beta \cdot B\right) }
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim_{{x \to x_{{0}}}} \left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) = \alpha \cdot A + \beta \cdot B
}
$$

其中，$\alpha$, $\beta$ 为常数.

---