一元函数一点处极限的性质之局部有界性

一、性质

若实数 $A$ 为函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限，则存在 $\delta > 0$, 使得 $f\left(x\right)$ 在去心邻域 $\overset{\circ}{U}\left(x_{0}, \delta\right)$ 中有界.

二、性质的证明

$A$ 是一个特定的实数，因此一定可以取常数 $m$ 和 $M$, 使得：

$$
m < A < M
$$

接着，令 $g\left(x\right) = m$, $h\left(x\right) = M$, 则由一元函数一点处极限的局部保序性可知：

• $\exists \delta_{1} > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta_{1}\right)$, 使得 $f\left(x\right) > g\left(x\right) = m$;
• $\exists \delta_{2} > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta_{2}\right)$, 使得 $f\left(x\right) < h\left(x\right) = M$.

取 $\delta = \min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}$, 当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
m < f\left(x\right) < M
}
$$

综上可知，函数 $f\left(x\right)$ 在去心邻域 $\overset{\circ}{U}\left(x_{0}, \delta\right)$ 中有界.

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