什么是“不失一般性地假设”？什么是“不妨设”？

一、前言

在一些证明过程中，我们会看到诸如“不失一般性地假设”这样的表达，“不妨设”的另一个名字是“不妨设”.

那么，什么是“不妨设”？为什么这样“设”是“不妨”的呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们针对上述问题做一个详细的讲解.

二、正文

§2.1 什么是“不妨设”？

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 简单地说，“不妨设”或者“不失一般性地假设”就是：

移除已知条件中不影响问题推导过程的部分条件.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 具体地说，“不妨设”或者“不失一般性地假设”就是：

我们虽然只讨论某一种情形，但其他未讨论的情形都能通过某种转换归入这一情形，而且这种转换不会改变命题的实质. 因此，没有真正漏掉任何情况和条件.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 严格地说，“不妨设”或者“不失一般性地假设”就是：

假设我们要证明：

$$
\forall x\in D, \quad P\left( x \right)
$$

现在只想证明 $x \in S \subset D$ 的情形，则要说“可以不失一般性地假设 $x \in S$”, 至少需要保证：

对每一个不属于 $S$ 的对象 $x$, 都可以找到一个属于 $S$ 的对象 $x’$, 使得由 $P(x’)$ 可以推出 $P\left( x \right)$.

也就是说，所有被“不妨设”省略的情形都必须能够被“搬运”到已经证明的情形中.

§2.2 常见的“不妨设”类型及例子

例 1：利用正负对称性

例如，“对任意的不同实数 $a, b$, 有 $f\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} f\left(x\right) \mathrm{~d} x$ 成立”，我们就可以不妨设：

$$
a > b
$$

因为，对于 $a \leqslant b$ 的情况，我们只需要将 $a > b$ 中的 $a$ 换成 $b$, 将 $a > b$ 中的 $b$ 换成 $a$, 得到的式子和原来的 $f\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} f\left(x\right) \mathrm{~d} x$ 这个式子是完全一致的：

$$
\begin{aligned}
& \ f \left(\frac{a + b}{2}\right) = f \left( \frac{b+a}{2} \right) \\ \\
& \ \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} f\left(x\right) \mathrm{~d} x = \frac{1}{a-b} \int_{b}^{a} f\left(x\right) \mathrm{~d} x = \frac{-1}{b – a} \cdot \left( – \int_{a}^{b} f\left(x\right) \mathrm{~d} x \right)
\end{aligned}
$$

上面的例子可以抽象为，如果要证明的结论满足 $P\left( x \right)$ 与 $P\left( -x \right)$ 等价，则，不妨设：

$$
x \geqslant 0
$$

因为，对于 $x < 0$ 的情况，可以用 $-x > 0$ 等价代替.

例 2：利用齐次性归一化

例如，对任意的正数 $a, b$ 证明下式成立：

$$
\left( a+b \right) ^{2} \geqslant 4ab
$$

由于上式两边都是二次齐次的，所以，可以用 $t > 0$ 对其进行缩放，得：

$$
\begin{aligned}
& \ \left( a+b \right) ^{2} \geqslant 4ab \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left( \frac{a}{t} + \frac{b}{t} \right) ^{2} \geqslant 4 \cdot \frac{a}{t} \cdot \frac{b}{t} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \frac{1}{t^{2}} \left( a+b \right) ^{2} \geqslant \frac{1}{t^{2}} \cdot 4ab
\end{aligned}
$$

虽然 $a$ 和 $b$ 的取值可以是任意的正整数，$\left( a+b \right) ^{2}$ 也是任意的正整数，但是，我们总是可以通过改变 $t$ 的取值，使得 $\frac{1}{t^{2}} \left( a+b \right) ^{2}$ 这个式子也是一个任意的正整数，所以，此时就可以不妨设：

$$
a + b = 1
$$