峰图 | 从包含关系的视角理解用反证法逆转充分条件和必要条件的证明逻辑

一、前言

由《峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件》这篇讲义可知，我们可以用几何图形的相互包含关系表示充分条件和必要条件. 而反证法则可以将对充分条件的证明转为对必要条件的证明，或者将对必要条件的证明转为对充分条件的证明.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和比喻的方式，帮助同学们快速建立对上述的反证法证明逻辑的形象理解.

二、约定

在一些数学资料中，事件 $B$ 的对立事件可能会有如下这几种表示方式：

$$
\overline{B}, \ \bar{B}, \ B^{c}, \ B^{\mathsf{c}}, \ \neg B, \ \sim B
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」使用上述第一种表示方式 “$\overline{B}$” 表示事件 $B$ 的对立事件.

同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」对以下三种图形的含义规定如下：

：表示事件 $A$;

：表示事件 $B$;

：表示事件 $B$ 的对立事件 $\overline{B}$.

三、正文

情形 1：事件 $A$ 完全包含事件 $B$

如图 01 所示，事件 $A$ 完全包含事件 $B$, 因此，由事件 $A$ 可以推出事件 $B$, 即：

$$
A \rightarrow B
$$

但是，如果证明 $A \rightarrow B$ 较为困难，我们就可以考虑事件 $B$ 的对立事件 $\overline{B}$.

如图 02 所示，事件 $\overline{B}$ 与事件 $A$ 存在部分重合，也就是说，如果事件 $\overline{B}$ 存在，则由事件 $\overline{B}$ 既可能推出事件 $A$; 由事件 $\overline{B}$ 也可能推不出事件 $A$.

那么，如果我们由事件 $\overline{B}$ 只能推出事件 $A$ 一定不存在（也就是由事件 $\overline{B}$ 得到的结论与事件 $A$ 对应的结论矛盾），那么，就说明事件 $\overline{B}$ 一定不存在，因为事件 $A$ 一定是存在的.

于是，既然事件 $\overline{B}$ 一定不存在，那么，事件 $B$ 就一定存在，所以下式成立：

$$
A \rightarrow B
$$

情形 2：事件 $A$ 完全不包含事件 $B$

如图 03 所示，事件 $A$ 完全不包含事件 $B$, 因此，由事件 $A$ 无法推出事件 $B$, 即：

$$
A \nrightarrow B
$$

但是，由图 03 可知，事件 $A$ 完全不包含事件 $B$, 事件 $B$ 完全不包含事件 $A$, 所以，事件 $A$ 与事件 $B$ 之间既不存在充分条件的关系，也不存在必要条件的关系，不在本文的讨论范围之内.

情形 3：事件 $A$ 不完全包含事件 $B$

如图 04 所示，事件 $A$ 部分包含事件 $B$, 因此，由事件 $A$ 可能推出事件 $B$, 也可能推不出事件 $B$, 即：

$$
A \rightarrow B \text{ 或 } A \nrightarrow B
$$

但是，由图 04 可知，事件 $A$ 并不完全包含事件 $B$, 事件 $B$ 也不完全包含事件 $A$, 所以，事件 $A$ 与事件 $B$ 之间既不存在充分条件的关系，也不存在必要条件的关系，不在本文的讨论范围之内.

四、补充说明

在上面的情形 1 中，我们只说了“由事件 $\overline{B}$ 只能推出事件 $A$ 一定不存在（也就是由事件 $\overline{B}$ 得到的结论与事件 $A$ 对应的结论矛盾）”这一种情况，那么，如果由事件 $\overline{B}$ 推出事件 $A$ 一定存在（也就是由事件 $\overline{B}$ 得到的结论与事件 $A$ 对应的结论不矛盾），可以说明什么呢？

事实上，如果由事件 $\overline{B}$ 推出事件 $A$ 一定存在，那么，什么也说明不了，无法完成判断由事件 $A$ 是否能推导出事件 $B$ 的反证.

这是为什么呢？

我们可以将事件 $A$ 看作是一间黑暗的房子中的一台风扇，而事件 $B$ 是这个房子中一个关闭着的手电筒，事件 $B$ 的对立事件 $\overline{B}$ 是这个房子中一个打开着的手电筒。

我们现在要做的事情是，用风扇去判断手电筒是否存在，很显然，这很难做到，但这件事本身隐含着一个前提，那就是：风扇是一定存在的，否则的话，用风扇去找手电筒这件事本身就失去了意义.

那么，既然用风扇找手电筒很困难，我们就可以反过来，从手电筒的角度思考，但是，一个关闭着的手电筒也很难在一个黑暗的房子中找到风扇，所以，我们把这个手电筒打开（打开灯光的手电筒就不是原来的手电筒了，我们可以把前面图 02 中的绿色区域看作是手电筒的光线能够照亮的区域，所以，打开着的手电筒可以看作是关闭着的手电筒的对立事件），于是——

如果这个打开的手电筒在明明可以照射到，或者部分照射到风扇的情况，而没有发现风扇的存在，那么，就说明这个发光的手电筒不存在，由于发光的手电筒和其对立事件，即“不发光的手电筒”必须存在一个，因此，不发光的手电筒一定存在；

但是，如果这个打开的手电筒发现了风扇的存在，那么，其实什么也说明不了，因为，我们事先已经知道，这个房子中一定存在风扇，那么，无论手电筒是否打开，甚至无论这个手电筒是否存在，我们都可以直接说风扇存在——风扇作为一个已知存在，不需要任何理由和原因即可知道其存在，或者说，由任何理由和原因都可以知道其存在——例如，如果房子里面还有一个水杯，也可以由这个水杯得出风扇存在，因为我们事先就知道风扇一定存在.

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