峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过绘图的方式，从几何包含关系的视角，帮助同学们建立对数学中“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”之间关系的形象理解.

二、正文

根据充分条件和必要条件的定义我们知道，充分条件和必要条件是具有“相对性”的，也就是说，命题 $A$ 是否是命题 $B$ 的充分条件或者必要条件，需要看这两个命题之间的“推出方向”：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 如果 $A$ 成立就一定能推出 $B$ 成立，即 $A \Rightarrow B$, 那么：

• $A$ 是 $B$ 的充分条件；
• $B$ 是 $A$ 的必要条件.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 反过来，如果 $B$ 成立就一定能推出 $A$ 成立，即 $B \Rightarrow A$, 那么：

• $B$ 是 $A$ 的充分条件；
• $A$ 是 $B$ 的必要条件.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 但是，直接根据上面的这些定义去理解什么是充分条件，什么是必要条件比较抽象，其实，我们可以将“充分”理解成“充足富余”，将“必要”理解成“必不可少”，换句话说，“充分”就是“相对大”，必要就是“相对小”.

于是，由下面的图 01 和图 02 可知，被事件 $A$ 所包含的事件 $B_{1}$ 和事件 $B_{2}$ 都是事件 $A$ 的必要条件，而事件 $A$ 既是事件 $B_{1}$ 的充分条件，也是事件 $B_{2}$ 的充分条件：

类似地，如图 03 和图 04 所示，事件 $B_{1}$ 既是事件 $A_{1}$ 的必要条件，也是事件 $A_{2}$ 的必要条件，而事件 $A_{1}$ 和事件 $A_{2}$ 则都是事件 $B_{1}$ 的充分条件：

当然，如果事件 $A_{i}$ 和事件 $B_{j}$ 大小一样，互相包含和被包含，则就是互为充分必要条件.

此外，充分条件和必要条件的常见自然语言表达如下：

• “只要 $A$, 就 $B$”：通常表示 $A \Rightarrow B$, $A$ 是 $B$ 的充分条件；
• “如果 $A$, 那么 $B$”：通常表示 $A \Rightarrow B$, $A$ 是 $B$ 的充分条件；
• “只有 $A$, 才 $B$”：通常表示 $B \Rightarrow A$, $A$ 是 $B$ 的必要条件；
• “$A$ 当且仅当 $B$”：通常表示 $A \Leftrightarrow B$, 两者互为充分必要条件.

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