线性代数中“对角化”相关概念与性质的联合讲解

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对线性代数中的四种“对角化”给出全面的对比讲解：

• 相似对角化
• 合同对角化
• 正交对角化
• 一般对角化

二、正文

§2.1 相似对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为相似矩阵.

性质

1. 对于 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$, 当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量时，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 才可以相似对角化；
2. 在实数数域内，如果 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个互不相等的特征值（此时，特征值不能为虚数）的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 一定可以相似对角化；
3. 在实数数域内，可以相似对角化的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不一定必须有 $n$ 个不相等的实特征值，例如，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 只有一个特征值 $1$, 但是，很显然，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 可以相似对角化：$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{E} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{E} = \boldsymbol{\Lambda}$.
4. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹不发生变化；
5. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不发生变化；
6. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不发生变化；
7. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量不发生变化；

§2.2 合同对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以合同对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为合同矩阵.

性质

1. 当 $\boldsymbol{A}$ 是一个关于主对角线对称的实对称矩阵的时候（即 $\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}$）一定可以合同对角化，因为实对称矩阵一定可以正交对角化；
2. 合同对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
3. 合同对角化一般 能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不变；
4. 合同对角化一般用于二次型的化简.

§2.3 正交对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以正交对角化，或者说，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 正交相似.

性质

根据《相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系》可知，正交对角化可以看作是相似对角化与合同对角化共同的特殊情况，因此，正交对角化同时具有相似对角化与合同对角化的部分性质（不是全部性质）：

1. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行正交对角化，能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
2. 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既可以相似对角化，也可以合同对角化，还可以正交对角化，因为，存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}$；
3. 能正交对角化的矩阵一定是实对称矩阵.

§2.4 一般对角化（等价对角化）

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 一般的对角化就是存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 为关于主对角线对称的对角矩阵.

性质

1. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
2. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量不变；
3. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹不变；
4. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不变；
5. 前面提到的相似对角化、合同对角化、正交对角化都是一般的对角化的特殊情况.

三、补充

[1]. 《“只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别》

---