峰图 | 基于“砖块砌墙理论”理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系

一、前言

通过 2021 年的考研数二真题第 09 题，我们可以知道，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量如果可以被矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解就一定包含齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.

在上面这道题目中，「荒原之梦考研数学」给出了五种不同的解法，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过峰式图的方式，给出针对该题目第五种解法的图形化理解.

二、正文

§2.1 向量线性表示的图形化定义

根据向量之间进行线性表示的定义，如果我们用高度相等但宽度可以不相等的矩形表示行向量，就可以得到如图 01 所示的行向量组：

于是，图 01 中的向量经过行与行之间的移动拼接之后（拼接可以表示向量之间的加、减或者数乘等线性运算），就得到了图 02 所示的行向量组：

由于，从图 01 中的行向量组到图 02 中的行向量组，行向量的高度并没有发生变化，没有侵入到其他的行向量中（没有越过图中的白色虚线），所以，我们就可以说，图 02 中的行向量组可以被图 01 中的行向量组线性表示.

当然，对于如图 03 所示的，由列向量组成的列向量组，我们也可以通过图形的方式表示由其通过线性表示得到的如图 04 所示的列向量组：

但是，对于如图 05 所示的行向量组，由于在将其看作行向量的时候，行向量矩阵的高度不完全相等，所以，其就无法通过行向量视角的线性表示得到与其线性相关的其他行向量，也就是说，图 06 所表示的行向量组与图 05 所示的行向量组并不存在线性表示关系：

但是，由于图 05 中表示向量的矩形的宽度是一样的，所以，如果我们将其当作列向量处理，则图 07 中所表示的列向量组就可以被图 05 中所表示的列向量组线性表示：

从上面的分析可知，一组向量被另一组向量线性表示的过程，就像是在“砌墙”，而向量就是“砖块”，只要砌成之后的墙在我们观察的视角（行视角或者列视角）上是平整的，那么，砌成之后的墙，就是由砌成之前的其他状态的墙（可以是最基础的砖块，也可以是已经砌到一定程度的墙）“线性表示”出来的.

§2.2 齐次线性方程组的图形化理解

解齐次线性方程组的过程，就相当于把前面砌好的墙按照相反的过程拆除，墙消失了，就是等式为零了. 这个相反的过程如何执行，就取决于齐次线性方程组的解，我们用如图 08 所示的斜线矩形表示齐次线性方程组的解：

当然，列向量组也存在一个相反的拆解过程，对应的也是一个“解”，但是，当前齐次线性方程组的定义中只能使用行向量，所以，对于如图 09 这样的列向量组，我们需要对其做一个转置运算，将列向量变成行向量之后，就转换成了与图 08 中的行向量组对应的齐次线性方程组一样类型的齐次线性方程组：

如果对图 08 中的行向量组做了一些线性表示，也就是“砌砖块”，就会得到一个看上去是全新的齐次线性方程组（如图 10 所示），实际上只是原本的齐次线性方程组（如图 08 所示）的一个“子集”，因为要做的反向拆解的方向是一样的：

也就是说，图 08 中齐次线性方程组的解（如图 11 所示）实际上包含图 10 中齐次线性方程组的解（如图 12 所示）：

三、总结

从上面的分析可知，行向量（或者转置之后的列向量）的线性表示与解齐次线性方程组是一个互为相反的过程，可以认为只是一种方向上的不同. 因此，如果一组向量可以被另一组向量线性表示，那么，前一组向量对应的齐次线性方程组的解就可以看作是后一组向量对应的齐次线性方程组的解的子集.

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