如何由平面曲线函数得到其绕指定轴线旋转所得曲面的函数？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将以下面的平面曲线函数为例，计算其绕不同的常见旋转轴旋转所得的曲面对应的函数表达式：

$$
y = \frac{1}{1 + x^{2}}
$$

函数 $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ 在二维直角坐标系中的函数图像如图 00 所示：

二、正文

§2.1 绕 $X$ 轴旋转

当一条位于 $XOY$ 二维平面上的曲线绕坐标轴 $X$ 轴旋转时，所形成的三维空间曲面的几何特性是：该曲面上任意一点 $(x, y, z)$ 到 $X$ 轴的距离，必须与原平面曲线函数值的绝对值 $|y|$ 相等.

于是，若平面曲线函数为：

$$
y = \frac{1}{1 + x^{2}}
$$

并且，点 $(x, y, z)$ 到 $X$ 轴的距离公式为：

$$
\sqrt{y^{2} + z^{2}}
$$

所以，平面曲线 $y$ $=$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 绕 $X$ 轴旋转，所得的三维曲面的函数表达式为：

$$
\begin{aligned}
& \ y = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sqrt{y^{2} + z^{2}} = \left| \frac{1}{1 + x^{2}} \right| \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sqrt{y^{2} + z^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ y^{2} + z^{2} = \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ z^{2} = \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} – y^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ z = \pm \sqrt{ \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} – y^{2} } }
\end{aligned}
$$

函数 $\textcolor{lightgreen}{ z = \pm \sqrt{ \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} – y^{2} } }$ 的三维函数图象为：

图 01.

§2.2 绕 $Y$ 轴旋转

当一条位于 $XOY$ 二维平面上的曲线绕坐标轴 $Y$ 轴旋转时，所形成的三维空间曲面的几何特性是：该曲面上任意一点 $(x, y, z)$ 到 $Y$ 轴的距离，必须等于原平面曲线上的对应点到 $Y$ 轴的距离，即 $|x|$.

于是，若平面曲线函数为：

$$
y = \frac{1}{1 + x^{2}}
$$

并且，点 $(x, y, z)$ 到 $Y$ 轴的距离公式为：

$$
\sqrt{x^{2} + z^{2}}
$$

所以，平面曲线 $y$ $=$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 绕 $Y$ 轴旋转，所得的三维曲面的函数表达式为：

$$
\begin{aligned}
& \ y = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ y = \frac{1}{1 + (\sqrt{x^{2} + z^{2}})^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ y = \frac{1}{1 + x^{2} + z^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ z^{2} = \frac{1 – y – y x^{2}}{y} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ z = \pm \sqrt{ \frac{1 – y – y x^{2}}{y} } }
\end{aligned}
$$

函数 $\textcolor{lightgreen}{ z = \pm \sqrt{ \frac{1 – y – y x^{2}}{y} } }$ 的三维函数图象为：

图 02.

§2.3 绕 $x=a$ 轴旋转

§2.3.1 求解思路一

当二维平面 $XOY$ 上的曲线绕平行于 $Y$ 轴的直线 $x = a$ 旋转时，所形成的三维空间曲面的几何特性是：空间中旋转曲面上任意一点 $(x, y, z)$ 到旋转轴 $x = a$ 的距离，必须等于原始曲线上对应点到该直线的距离.

为了区分旋转前后的坐标，我们设平面曲线上的点为 $(u, y, 0)$.

于是，平面曲线函数 $y$ $=$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$, 可以写成：

$$
y = \frac{1}{1 + u^{2}}
$$

在三维空间中，任意一点 $(x, y, z)$ 到直线 $x = a$ 这条旋转轴的垂直距离为 $\sqrt{(x – a)^{2} + z^{2}}$.

同时，在 $XOY$ 二维平面上，点 $(u, y, 0)$ 到直线 $x = a$ 的距离为 $|u – a|$.

并且，根据旋转曲面的生成原理，这两个距离必须相等，即：

$$
\sqrt{(x – a)^{2} + z^{2}} = |u – a|
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \ u – a = \pm\sqrt{(x – a)^{2} + z^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ u = a \pm \sqrt{(x – a)^{2} + z^{2}}
\end{aligned}
$$

将上面求得的 $u$ 的表达式代入原曲线方程 $y = \frac{1}{1 + u^{2}}$ 中，即可得到绕 $x = a$ 旋转后的曲面方程：

$$
\begin{aligned}
& \ y = \frac{1}{1 + \left(a \pm \sqrt{(x – a)^{2} + z^{2}}\right)^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ z = \pm \sqrt{\left( a \pm \sqrt{\frac{1 – y}{y}} \right)^{2} – (x – a)^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ z = + \sqrt{\left( a + \sqrt{\frac{1 – y}{y}} \right)^{2} – (x – a)^{2}} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ z = – \sqrt{\left( a – \sqrt{\frac{1 – y}{y}} \right)^{2} – (x – a)^{2}} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ z = + \sqrt{\left( a – \sqrt{\frac{1 – y}{y}} \right)^{2} – (x – a)^{2}} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ z = – \sqrt{\left( a + \sqrt{\frac{1 – y}{y}} \right)^{2} – (x – a)^{2}} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$

§2.3.2 求解思路二

由于旋转轴为平行于 $Y$ 轴的直线 $x = a$, 因此，这里先将平面曲线函数 $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ 由 $y$ 是 $x$ 的函数，转为 $x$ 是 $y$ 的函数，即：

$$
x = \pm \sqrt{\frac{1}{y} – 1}
$$

因此，旋转曲面的任一点 $(x, y, z)$ 满足下面的两个等式：

$$
\begin{aligned}
(x – a)^{2} + z^{2} & = \left( \pm \sqrt{\frac{1}{y} – 1} – a \right)^{2} \\ \\
& = \left( \mp \sqrt{\frac{1}{y} – 1} + a \right)^{2}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \ (x – a)^{2} + z^{2} = \left( \mp \sqrt{\frac{1}{y} – 1} + a \right)^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ z^{2} = \left( \mp \sqrt{\frac{1}{y} – 1} + a \right)^{2} – (x – a)^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ z = \pm \sqrt{\left( a \mp \sqrt{\frac{1}{y} – 1} \right)^{2} – (x – a)^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ z = + \sqrt{\left( a + \sqrt{\frac{1}{y} – 1} \right)^{2} – (x – a)^{2}} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ z = – \sqrt{\left( a – \sqrt{\frac{1}{y}-1} \right)^{2} – (x – a)^{2}} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ z = + \sqrt{\left( a – \sqrt{\frac{1}{y}-1} \right)^{2} – (x – a)^{2}} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ z = – \sqrt{\left( a + \sqrt{\frac{1}{y}-1} \right)^{2} – (x – a)^{2}} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$

函数 $\textcolor{lightgreen}{ z = \pm \sqrt{\left( a \mp \sqrt{\frac{1}{y} – 1} \right)^{2} – (x – a)^{2}} }$ 的三维函数图象为：

图 03.

§2.4 绕 $y=b$ 轴旋转

当二维平面 $XOY$ 上的曲线绕平行于 $X$ 轴的直线 $y = b$ 旋转时，所形成的三维空间曲面的几何特性是：空间中旋转曲面上任意一点 $(x, y, z)$ 到旋转轴 $y = b$ 的距离，必须等于原始曲线上对应点到该直线的距离.

又因为，空间中任意一点 $(x, y, z)$ 到直线 $y=b$ 的垂直距离公式为：

$$
\sqrt{(y – b)^{2} + z^{2}}
$$

同时，在 $XOY$ 平面上，曲线上的点 $(x, f(x), 0)$ 到直线 $y=b$ 的距离为：

$$
|f(x) – b|
$$

根据旋转的定义，上面这两个距离必须相等，即：

$$
\begin{aligned}
& \ \sqrt{(y – b)^{2} + z^{2}} = |f(x) – b| \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sqrt{(y – b)^{2} + z^{2}} = \left| \frac{1}{1 + x^{2}} – b \right| \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ (y – b)^{2} + z^{2} = \left( \frac{1}{1 + x^{2}} – b \right)^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ z^{2} = \left( \frac{1}{1 + x^{2}} – b \right)^{2} – (y – b)^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ z = \pm \sqrt{\left( \frac{1}{1 + x^{2}} – b \right)^{2} – (y – b)^{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ z = + \sqrt{\left( \frac{1}{1 + x^{2}} – b \right)^{2} – (y – b)^{2}} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ z = – \sqrt{\left( \frac{1}{1 + x^{2}} – b \right)^{2} – (y – b)^{2}} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$

函数 $\textcolor{lightgreen}{ z = \pm \sqrt{\left( \frac{1}{1 + x^{2}} – b \right)^{2} – (y – b)^{2}} }$ 的三维函数图象为：

图 04.

三、补充说明

当曲线绕着斜线，如 $y = x$, 或者 $y=-x$ 旋转时，坐标轴不再像上面几种情况下一样正交于旋转轴，因此，需要借助空间解析几何中的投影不变量等定理来进行推导其表达式. 同时，由于绕斜线旋转会引入复杂的代数结构，所以，这种曲面几乎不可能写成简洁的 $z = f(x, y)$ 的显式形式. 由于这部分知识点也不是考研数学的考察范围，所以，在本文中就略过不表.

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