反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导的方式，对形如 $\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x$, $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x$ 这样的反常积分的敛散性进行证明.

二、正文

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 公式

常见的有关反常积分敛散性的三个常用公式如下：

公式 1：

$$
a < b \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x \quad \begin{cases} p < 1, & \text{收敛} \\ p \geqslant 1, & \text{发散} \end{cases}
$$

公式 2：

$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x \quad \begin{cases} p > 1, & \text{收敛} \\ p \leqslant 1, & \text{发散} \end{cases}
$$

公式 3：

$$
a > 1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x \quad \begin{cases}
p > 1, & \text{收敛} \\
p \leqslant 1, & \text{发散}
\end{cases}
$$

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 公式 1

$$
a < b \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x \quad \begin{cases} p < 1, & \text{收敛} \\ p \geqslant 1, & \text{发散} \end{cases}
$$

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 公式 1 的证明

由于当 $x \to a$ 的时候，$x – a \to 0$, 所以，我们首先将积分 $\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x$ 等价定义为：

$$
I_{1} = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{a+\epsilon}^b \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x
$$

于是可知，若 $I_{1}$ 的极限存在且有限，则该积分收敛，否则，该积分发散.

首先，对式子 $I_{1}$ 进行换元，令 $u = x – a$, 则：

• 当 $x = a + \epsilon$ 时，$u = a + \epsilon – a = \epsilon$；
• 当 $x = b$ 时，$u = b – a$.

又因为 $x = u+a$, 所以：

$$
\mathrm{d}x = \mathrm{d} (u+a) = \mathrm{d}u
$$

于是：

$$
I_{1} = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{a+\epsilon}^b \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_\epsilon^{b-a} u^{-p} \mathrm{~d}u
$$

因此，当 $p \neq 1$ 时，$u^{-p}$ 的原函数为 $\frac{u^{1-p}}{1-p}$, 所以：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_\epsilon^{b-a} u^{-p} \mathrm{~d}u \\ \\
= \ & \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \left[ \frac{u^{1-p}}{1-p} \right]_\epsilon^{b-a} \\ \\
= \ & \textcolor{lightblue}{ \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{(b-a)^{1-p}}{1-p} } – \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{\epsilon^{1-p}}{1-p} \\ \\
= \ & \textcolor{lightblue}{\text{常数}} – \textcolor{lightblue}{ \frac{1}{1-p} } \times \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \epsilon^{1-p} \\ \\
= \ & \textcolor{lightblue}{\text{常数}} – \textcolor{lightblue}{ \text{常数} } \times \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \epsilon^{1-p} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
& p<1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } 1-p>0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \epsilon^{1-p} \to 0 \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{极限存在}， \text{积分收敛} \\ \\
& p >1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } 1 – p < 0 \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \epsilon^{1-p} = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \frac{1}{\epsilon^{p-1}} = \frac{1}{0^{+}} \to + \infty \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{极限不存在}, \text{积分发散}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

特别地，当 $p = 1$ 时，有：

$$
\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_\epsilon^{b-a} u^{-p} \mathrm{~d}u = \int_\epsilon^{b-a} \frac{1}{u} \mathrm{~d}u = \ln u \Big|_\epsilon^{b-a} = \ln(b-a) – \ln \epsilon
$$

由于，当 $\epsilon \to 0^{+}$ 时，$-\ln \epsilon \to +\infty$, 所以，当 $p=1$ 时，积分 $\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_\epsilon^{b-a} u^{-p} \mathrm{~d}u$ 发散.

综上可知：

$$
\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_\epsilon^{b-a} u^{-p} \mathrm{~d}u = \int_\epsilon^{b-a} \frac{1}{u} \mathrm{~d}u = \ln u \Big|_\epsilon^{b-a} = \ln(b-a) – \ln \epsilon
$$

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 公式 2

$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x \quad \begin{cases} p > 1, & \text{收敛} \\ p \leqslant 1, & \text{发散} \end{cases}
$$

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 公式 2 的证明

为了方便后续的极限计算，当 $a > 0$ 的时候，我们将积分 $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x$ 等价改写成：

$$
I_{2} = \lim_{R \to +\infty} \int_{a}^{R} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x
$$

于是可知，若 $I_{2}$ 的极限存在且有限，则该积分收敛，否则，该积分发散.

接着，当 $p \neq 1$ 时，$\frac{1}{x^{p}}$ 的原函数为 $\frac{x^{1-p}}{1-p}$, 因此：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{R \to +\infty} \int_{a}^{R} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x \\ \\
= \ & \lim_{R \to +\infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{a}^{R} \\ \\
= \ & \lim_{R \to +\infty} \frac{R^{1-p}}{1-p} – \lim_{R \to +\infty} \frac{a^{1-p}}{1-p} \\ \\
= \ & \lim_{R \to +\infty} \frac{R^{1-p}}{1-p} – \frac{1}{1-p} \times \lim_{R \to +\infty} a^{1-p} \\ \\
= \ & \lim_{R \to +\infty} \textcolor{lightblue}{ \frac{R^{1-p}}{1-p} } – \textcolor{lightblue}{ \frac{1}{1-p} } \times \lim_{R \to +\infty} a^{1-p} \\ \\
= \ & \lim_{R \to +\infty} \textcolor{lightblue}{ \text{常数} } – \textcolor{lightblue}{ \text{常数} } \times \lim_{R \to +\infty} a^{1-p} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
& p>1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } 1-p<0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \lim\_{R \to +\infty} a^{1-p} \to 0 \\\ & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{极限存在}, \text{积分收敛} \\\ \\\ & p<1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } 1-p> 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \lim_{R \to +\infty} a^{1-p} \to + \infty \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{极限不存在}, \text{积分发散}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

特别地，当 $p = 1$ 时，有：

$$
\lim_{R \to +\infty} \int_{a}^{R} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x = \lim_{R \to +\infty} \int_{a}^{R} \frac{1}{x} \mathrm{~d}x = \lim_{R \to +\infty} \ln x \Big|_{a}^{R} = \lim_{R \to +\infty} \ln R – \ln a
$$

由于，当 $R \to +\infty$ 时，$\ln R \to +\infty$, 所以，积分 $\lim_{R \to +\infty} \int_{a}^{R} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x$ 发散.

综上可知：

$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x \quad \begin{cases} p > 1, & \text{收敛} \\ p \leqslant 1, & \text{发散} \end{cases}
$$

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 公式 3

$$
a > 1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x \quad \begin{cases}
p > 1, & \text{收敛} \\
p \leqslant 1, & \text{发散}
\end{cases}
$$

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 公式 3 的证明

首先，令 $u = \ln x$, 则：

$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{~d}x
$$

此时积分的上下限会发生下面的变化：

$$
\begin{aligned}
& x = a, a > 1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } u = \ln a \\ \\
& x \to + \infty, \ln a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } u \to + \infty
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x = \int_{\ln a}^{+ \infty} \frac{1}{u^{p}} \mathrm{~d} u
$$

接着，根据前面的公式 2 可知，对于积分 $\int_{\ln a}^{+ \infty} \frac{1}{u^{p}} \mathrm{~d} u$, 有：

• 当 $p > 1$ 时，积分收敛；
• 当 $p \leqslant 1$ 时，积分发散.

综上可知：

$$
a > 1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x \quad \begin{cases}
p > 1, & \text{收敛} \\
p \leqslant 1, & \text{发散}
\end{cases}
$$

$\textcolor{orange}{\blacksquare}$ 有关公式 3 的补充说明

需要注意的是，当 $a > 1$ 的时候，下面这个积分是恒发散的，不存在收敛的情况：

$$
\int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{\ln ^{p} x} \mathrm{~d} x
$$

上面这个积分发散的主要原因就是，当 $x \to +\infty$ 的时候，$\frac{1}{\ln ^{p} x}$ 趋于零的速度远低于 $\frac{1}{x \ln ^{p} x}$, 从而使得积分无法收敛.

证明过程如下：

令 $x = \mathrm{e}^{t}$, 则 $\mathrm{d}x = \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d}t$. 此时，积分下限由 $x = a$ 变为 $t = \ln a > 0$, 积分上限由 $x \to +\infty$ 变为 $t \to +\infty$, 即：

$$
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{\ln^{p} x} \mathrm{~d}x = \int_{\ln a}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{t}}{t^{p}} \mathrm{~d}t
$$

分析可知，在被积函数 $\frac{\mathrm{e}^{t}}{t^{p}}$ 中，当 $t \to +\infty$ 时，指数 $\mathrm{e}^{t}$ 的增长速度远超幂函数 $t^{p}$, 因此 $\lim_{t \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{t}}{t^{p}} \to +\infty$, 所以，积分 $\int_{\ln a}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{t}}{t^{p}} \mathrm{~d}t$ 发散, 进而可知，下面的积分发散：

$$
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{\ln^{p} x} \mathrm{~d}x
$$

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