全导数、偏导数和全微分的区别与联系

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将分别对全导数和偏导数之间的联系与区别，以及全导数和全微分之间的联系与区别做一个详细的阐释.

二、正文

§2.1 全导数 VS 偏导数

全导数的英语表示是：Total Derivative, 而偏导数的英语表示是：Partial Derivative——

所以，无论从全导数和偏导数的中文表示，还是英文表示来看，都可以看到，全导数指的就是完整的导数，而偏导数指的就是不完整的部分的导数.

事实上，假如一个函数 $F(x, y, z)$ $=$ $x^{2} + 2y + 5z^{3}$, 其中 $y$ $=$ $y(x)$, $z$ $=$ $z(y)$, 则可以看到 $z$ 是关于 $y$ 的函数，$y$ 是关于 $x$ 的函数，而 $F$ 是关于 $x$, $y$, $z$ 的函数，所以，本质上来看，$F$ 是只关于 $x$ 的函数.

于是，函数 $F(x, y, z)$ 对 $x$ 的偏导数就是只计算 $x^{2}$ 这个直接由 $x$ 构成的部分，至于 $y$ 和 $z$ 这两个变量，都要被当作常数处理，即：

$$
\frac{\partial \textcolor{lightblue}{F}}{\partial x} = \textcolor{magenta}{ 2x }
$$

但是，函数 $F(x, y, z)$ 对 $x$ 的全导数就不能只考虑对 $x^{2}$ 的求导了，$y(x)$ 和 $z(y)$ 对 $x$ 的求导也要加进来，即：

$$
\frac{\mathrm{d} \textcolor{lightblue}{F} }{\mathrm{d} x} = \textcolor{lightgreen}{ 2x + 2 \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} } \textcolor{orange}{ + 15 z^{2} \cdot \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
$$

此外，假如一个函数 $G(x, y, z)$ $=$ $x^{2} + 2y + 5z^{3}$, 其中 $y$ $=$ $y(x)$, $z$ 是单纯的一个变量，则函数 $G(x, y, z)$ 对 $x$ 的全导数就需要将 $x$ 和 $y$ 都看作变量，将 $z$ 看作常数处理，即：

$$
\frac{\mathrm{d} \textcolor{yellow}{G}}{\mathrm{d} x} = \textcolor{lightgreen}{ 2x + 2 \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
$$

当然，此时函数 $G(x, y, z)$ 对 $x$ 的偏导数仍然只需要考虑 $x^{2}$, $y(x)$ 和 $z$ 都看作常数处理，即：

$$
\frac{\partial \textcolor{yellow}{G}}{\partial x} = \textcolor{magenta}{ 2x }
$$

§2.2 全导数 VS 全微分

全微分（Total Differential）描述的是函数的改变量，而全导数（Total Derivative）描述的是函数的改变率（或者说变化率），改变量除以在指定方向（如变量 $x$ 的方向，或者变量 $y$ 的方向）上的“持续时间”，也即是 $\mathrm{d} x$ 或者 $\mathrm{d} y$, 就可以得到改变率.

于是，对于函数 $K$ $=$ $K(x, y)$, $y$ $=$ $y(x)$, 我们有全微分的表达式如下：

$$
\mathrm{d} K = \frac{\partial K}{\partial x} \mathrm{~d} x + \frac{\partial K}{\partial y} \mathrm{~d} y \tag{1}
$$

在上面的 $(1)$ 式等号两侧同时除以 $\mathrm{d} x$, 就得到了函数 $K$ $=$ $K(x, y)$, $y$ $=$ $y(x)$ 的全导数表达式：

$$
\frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{d} x} = \frac{\partial K}{\partial x} + \frac{\partial K}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}
$$

所以，我们可以将全微分看作是全导数的基础，全导数是基于全微分定义的.

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