使用韦达定理求解行列式的值

一、题目

计算行列式 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{D} \end{vmatrix}$ $=$ $\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix}$, 其中 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 是方程 $x^{3} + px + q$ $=$ $0$ 的三个根.

二、解析

基于韦达定理求解

根据《韦达定理》可知，在一元 $n$ 次方程 $x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0}$ $=$ $0$ 中，其 $n$ 个根之和为 $-a_{n-1}$, 于是，对于一元三次方程 $x^{3} + \textcolor{orange}{0 \cdot x^{2}} + px + q$ $=$ $0$, 我们有：

$$
\alpha + \beta + \gamma = \textcolor{orange}{0}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{D}
\end{vmatrix}
& = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix} \\
& = \begin{vmatrix} \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix} \\
& = \left( \alpha + \beta + \gamma \right) \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\gamma & \alpha & \beta \\
\beta & \gamma & \alpha
\end{vmatrix} \\
& = \textcolor{orange}{0} \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\gamma & \alpha & \beta \\
\beta & \gamma & \alpha
\end{vmatrix} \\
& = \textcolor{orange}{0}
\end{aligned}
$$

特例法求解

我们可以在不违反题意的情况下，令：

$$
p = 0, \ q = 0
$$

则：

$$
\begin{aligned}
& x^{3} + px + q = 0 \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x^{3} = 0 \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x_{1} = 0, \ x_{2} = 0, \ x_{3} = 0 \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \alpha = 0, \ \beta = 0, \ \gamma = 0
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{D}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} = 0
$$

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