微分方程的通解和特解

一、前言

齐次线性微分方程有特解吗？

非线性微分方程有特解和通解吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细介绍一下微分方程的通解和特解.

二、正文

首先，大多数非线性微分方程并没有解析解，所以，对于非线性微分方程而言，也就不存在通解和特解这类概念.

接着，对于线性微分方程而言，无论是齐次的线性微分方程，还是非齐次的线性微分方程，都是既存在通解，也存在特解.

所谓特解就是，满足微分方程的某一个具体的函数；

所谓通解就是，包含了任意常数（$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $\cdots$），能够囊括微分方程所有解的一个表达式.

通解与特解之间的关系：

假设 $Y$ 是一个非齐次线性微分方程，并且 $Y$ 对应的齐次线性微分方程是 $y$, 则：

$$
Y_{\text{非齐次通解}} = y_{\text{齐次通解}} + Y^{*}_{\text{非齐次特解}}
$$

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