峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中，我们知道，在计算二元函数一点处的极限时，二元函数中不同形状的去心邻域如果能够相互“包裹”，就是等价的，或者说“等效”的.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，给同学讲清楚，在二元函数中，哪些形状的去心邻域可用于定义或者求解一点处的极限，哪些形状的定义域不能用于定义或者求解一点处的极限.

二、正文

由《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章可知，圆形和正方形的去心邻域都可以作为二元函数一点处极限的定义中所需的去心邻域.

当然，根据的后面的分析可知，在定义二元函数一点处极限的时候，很多种不同形状的去心邻域之间都是等价的关系，所以，在本文中，我们用如图 01 中绿色不规则曲线所示的形状表示所有可用于定义和求解一点处极限的去心邻域，并用白色的圆点表示要求解一点处极限的坐标点，也就是去心邻域的“心”：

于是，根据几何形状的性质可知，如图 02 中橙色线条形成的去心邻域就是一个与绿色线条形成的去心邻域等价的去心邻域：

因为，当我们将橙色线条形成的去心邻域“放大”的一定程度，或者说，将绿色线条形成的去心邻域“缩小”到一定程度的时候，橙色线条的去心邻域一定能够完全包裹住绿色线条的去心邻域（如图 03 所示），因此，这两个形状的去心邻域就可以完成相互“包裹”，从而就是等价的：

分析可知，上面的两个去心邻域之所以是等价的，就是因为其在几何关系上可以实现相互的“包裹”。

但是，根据定义可知，对二元函数去心邻域的“放大”和“缩小”并不是随意进行的，而是要以白色圆点所表示的极限点为基准.

所以，如图 04 中橙色线条形成的去心邻域就与绿色线条形成的去心邻域不等价：

因为，无论我们怎么“放大”橙色线条形成的去心邻域，橙色线条形成的去心邻域都无法实现对绿色线条形成的去心邻域的“包裹”（当然，无论我们怎么“缩小”绿色线条形成的去心邻域，橙色线条形成的去心邻域也都无法实现对绿色线条形成的去心邻域的“包裹”），如图 05 所示：

类似的，如图 06 和图 07 所示的橙色线条形成的去心邻域也不可能“包裹”住绿色线条形成的去心邻域，所以，橙色线条形成的去心邻域与绿色线条形成的去心邻域不等价：

当然，如图 08 和图 09 所示，如果去心邻域不是一个封闭的二维面或者三维面（橙色线条），则无论将其如何“放大”或者“缩小”，也都不可能“包裹”住绿色线条形成的去心邻域，从而导致橙色线条形成的去心邻域与绿色线条形成的去心邻域不等价：

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