峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过与一元函数极限的类比，以及对二元函数（全面）极限的定义的分析，为同学们讲清楚二元函数的（全面）极限.

如无特殊说明，本文接下来所提到的“二元函数的极限”指的都是“二元函数的全面极限”.

二、正文

二元函数的极限与一元函数的极限是类似的——无论一元函数一点处的极限，还是二元函数一点处的极限，指的都是当动点任意接近于极限点时，所有动点的函数值都趋向于同一个值，这个值就是该极限点的极限值.

具体来说，一元函数的极限事实上只有两个趋近方向，也就是沿着 $X$ 轴从极限点的左侧和右侧两个方向的趋近，如图 01 所示：

但是，如图 02 和图 03 所示，对于由二元函数定义的二维平面（或者三维平面）或者三维曲面上的任意一个点，我们都能找到无数种趋近该点的“路径”：

事实上，二元函数一点处的极限和二元函数一点处的极限的主要区别就是上面所说的——

就一点处的极限的趋近“路径”而言，一元函数只有两条极限趋近的“路径”，而二元函数则存在无数条极限趋近的“路径”. 当然，除此之外，在一元函数中成立的有关极限的四则运算定理、不等式相关的定理和夹逼定理等，在二元函数函数的极限运算中也都成立.

下面的定义 Ⅰ 是二元函数一点处极限的第一个常见的定义：

定义 Ⅰ: 设函数 $f \left( x, y \right)$ 在点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$ 的某个去心（空心）邻域（即 $\left( x, y \right) \neq \left( x_{0}, y_{0} \right)$）内有定义. 若有一个常数 $A$，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在一个 $\delta > 0$，使得当

$$
\textcolor{lightgreen}{
0 < \sqrt{\left( x – x_{0} \right)^{2} + \left( y – y_{0} \right)^{2}} < \delta } \tag{1}
$$

时，就有 $\left| f \left( x, y \right) – A \right| < \varepsilon$，则称当点 $\left( x, y \right)$ 趋向于点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$（记作 $\left( x, y \right) \rightarrow \left( x_{0}, y_{0} \right)$）时，$f \left( x, y \right)$ 以 $A$ 为极限，记作：

$$
\lim_{ \left( x, y \right) \rightarrow \left( x_{0}, y_{0} \right)} f \left( x, y \right) = A
$$

或者记作：

$$
\lim_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} f \left( x, y \right) = A
$$

定义 Ⅰ 的通俗解释：定义 Ⅰ 中的 $(1)$ 式就是用圆形圈定一个范围（$\left( x – x_{0} \right)^{2}$ $+$ $\left( y – y_{0} \right)^{2}$ 定义的就是一个圆形），并用一个可以任意小的正数 $\delta$ （实际上就是该圆形的半径）来让这个圆圈缩到非常小，从而使得位于圆圈上的动点 $(x, y)$ 不断接近极限点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$，如图 04 所示：

当然，如果极限存在，其实需要圆形所圈定的范围（也就是点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$ 的去心邻域）内所有点的极限都不断趋近极限点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$, 并且趋近的路线（在图中我们用灰色虚线箭头表示）也可能是多种多样的，如图 05 所示：

事实上，如果我们将定义 Ⅰ 中用于表示极限点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$ 的去心邻域的式子 $0 < \sqrt{\left( x – x_{0} \right)^{2} + \left( y – y_{0} \right)^{2}} < \delta$, 更换成下面的式子，也是可以的：

$$
\left| x – x_{0} \right| < \delta, \quad \left| y – y_{0} \right| < \delta
$$

于是，就有了下面的关于二元函数一点处极限的第 Ⅱ 个定义：

定义 Ⅱ: 设函数 $f \left( x, y \right)$ 在点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$ 的某个去心（空心）邻域（即 $\left( x, y \right) \neq \left( x_{0}, y_{0} \right)$）内有定义. 若存在一个常数 $A$，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都存在一个 $\delta > 0$，使得当

$$
\textcolor{lightgreen}{
\left| x – x_{0} \right| < \delta, \quad \left| y – y_{0} \right| < \delta
} \tag{2}
$$

时，有：

$$
\left| f \left( x, y \right) \right| – A < \varepsilon
$$

则称当 $\left( x, y \right) \rightarrow \left( x_{0}, y_{0} \right)$ 时，$f \left( x, y \right)$ 的极限为 $A$.

定义 Ⅱ 的通俗解释：定义 Ⅱ 中的 $(2)$ 式就是用正方形圈定一个范围（$\left| x – x_{0} \right| < \delta$, $\left| y – y_{0} \right| < \delta$ 定义的就是一个正方形），并用一个可以任意小的正数 $\delta$ （实际上就是正方形边长的一半）来让这个正方形缩到非常小，从而使得位于圆圈上的动点 $\left( x, y \right)$ 不断接近极限点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$，如图 06 所示（为了简单起见，图 06 中只画了一个点的示意图，实际上应该存在无数个点）：

那么，上面的定义 Ⅰ 和定义 Ⅱ 是等价的吗？

分析可知，如图 07 所示，橙色的正方形是定义 Ⅱ 中定义的极限点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$ 的去心邻域，绿色的圆形是定义 Ⅰ 中定义的极限点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$ 的去心邻域，由简单的几何关系可知，当橙色的正方形边长为 $2 \delta$, 绿色的圆形半径为 $\delta$, 且这两个图形的中心都位于点 $\left( x_{0}, y_{0} \right)$ 处的时候，橙色的正方形可以完全包围住绿色的圆形——也就是说，只要定义 Ⅱ 成立，那么，定义 Ⅰ 就一定成立：

类似地，如图 08 所示，如果我们将定义 Ⅰ 中 $(1)$ 式的 $\delta$ 更换为 $\rho$, 并且使定义 Ⅰ 中所表示的半径为 $\rho$ 的绿色圆形可以完全包围定义 Ⅱ 中边长为 $2 \delta$ 的正方形，则就意味着，只要定义 Ⅰ 成立，那么，定义 Ⅱ 就一定成立：

事实上，图 07 和图 08 之间就构成了相互可推导出的充分必要条件的关系，因此，图 07 和图 08 所示的极限定义是完全等价的——

但是，你可能会产生样的疑问，虽然我们上面对图 07 和图 08 的极限结构完全等价的推理并没有什么逻辑上的问题，但是，一个正方形和一个圆形是无论怎么样也不可能完全一样的，怎么解释这个问题呢？

其实，如果我们代入极限的视角来看待这个问题，上面的问题就迎刃而解了——

由于这是一个趋近于零的过程，所以，图 07 和图 08 中的四边形的边长是趋近于零的，圆形的半径也是趋近于零的，此时，正方形比圆形多出来的部分（图 09 中灰色阴影表示的部分），或者说圆形比正方形多出来的部分（图 10 中灰色阴影表示的部分）的面积也是趋近于零的，而此时，我们就可以认为圆形和正方形在趋于零的极限过程中就是完全一样的：

那么，对于二元函数一点处的极限，我们为什么需要做出上面的定义 Ⅰ 和定义 Ⅱ 这两个不同表述方式的定义呢？

这是因为，在有些情况下，可能使用定义 Ⅰ 更合适；而在另外一些情况下，可能使用定义 Ⅱ 更合适——具体使用哪一种定义，要根据问题中所涉及的函数的表达式等条件确定.

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