对于含有根号的部分，在积分的时候也可以尝试直接使用

一、题目

$$
\int \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

一般情况下，在进行积分运算的时候，对于被积函数中含有根号的部分，我们首先想到的就是通过代换等方式将根号去除. 但是，在某些情况下，我们没有必要针对含有根号的部分做特殊的处理，直接使用即可. 例如，在本题中——

$$
\begin{aligned}
\int \frac{(x+1)^{2}}{ \textcolor{orange}{\sqrt{x}}} \mathrm{~d} x = & \int \frac{x^{2} + 1 + 2x}{\textcolor{orange}{x^{\frac{1}{2}}}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int \left( x^{2} + 1 + 2x \right) \cdot x^{\frac{-1}{2}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int x^{2 – \frac{1}{2}} + 1 \cdot x^{\frac{-1}{2}} + 2x^{1 – \frac{1}{2}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int \left( x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C }
\end{aligned}
$$

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