在这两道题中，你能快速区分是对指数函数求导，还是对幂函数求导吗？

题目一

若有函数 $f(x,y)=x^{y}$, 其中 $x, y > 0$，则 $\frac{\partial f}{\partial x} = ?$, $\frac{\partial f}{\partial y} = ?$

对自变量 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 求偏导时，需要将自变量 $y$ 看作常数，此时 $\textcolor{lightgreen}{x}^{y}$ 就是关于 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 的幂函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y \textcolor{lightgreen}{x}^{y-1}
$$

对自变量 $\textcolor{orange}{y}$ 求偏导时，需要将自变量 $x$ 看作常数，此时 $x^{\textcolor{orange}{y}}$ 就是关于 $\textcolor{orange}{y}$ 的指数函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{\textcolor{orange}{y}} \ln x
$$

若有函数 $f(x,y)=y^{x}$, 其中 $x, y > 0$，则 $\frac{\partial f}{\partial x} = ?$, $\frac{\partial f}{\partial y} = ?$

对自变量 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 求偏导时，需要将自变量 $y$ 看作常数，此时 $y^{\textcolor{lightgreen}{x}}$ 就是关于 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 的指数函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{\textcolor{lightgreen}{x}} \ln y
$$

对自变量 $\textcolor{orange}{y}$ 求偏导时，需要将自变量 $x$ 看作常数，此时 $\textcolor{orange}{y}^{x}$ 就是关于 $\textcolor{orange}{y}$ 的幂函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x \textcolor{orange}{y}^{x-1}
$$