用积分化简反三角函数和对数函数

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将提供几个用积分的方式等价改写反三角函数和对数函数的公式，并用图文结合的方式做以解释.

二、正文

$\arcsin x$

由于 $\left( \arcsin x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{1} {\sqrt{1 – x^{2}}}$, 且 $\arcsin 0 = 0$, 所以：

$$
\arcsin x = \int_{0}^{x} \frac{1} {\sqrt{1 – t^{2}}} \mathrm{d} t, \quad -1 \leqslant x \leqslant 1
$$

$\arctan x$

由于 $\left( \arctan x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$, 且 $\arctan 0 = 0$, 所以：

$$
\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^{2}} \mathrm{~d} t \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{0}^1 \frac{1}{1 + t^{2}} \mathrm{~d} t = \frac{\pi}{4}
$$

$\arccos x$

由于 $\left( \arccos x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$, 且 $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, $\arccos 1 = 0$, 所以：

$$
\begin{aligned}
& \arccos x = \frac{\pi}{2} – \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d} t, \quad -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ \\
& \arccos x = \int_{x}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d} t, \quad -1 \leqslant x \leqslant 1
\end{aligned}
$$

$\mathrm{arccot} x$

由于 $\left( \mathrm{arccot} x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{-1}{1 + x^{2}}$, 且 $\mathrm{arccot} 0 = \frac{\pi}{2}$, $\mathrm{arccot} \infty = 0$, 所以：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{arccot} x = \frac{\pi}{2} – \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^{2}} \mathrm{~d} t \\ \\
& \mathrm{arccot} x = \int_{x}^{\infty} \frac{1}{1 + t^{2}} \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$

$\ln x$, $\log_{a} x$

由于 $\left( \ln x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{x}$, $\left( \log_{a} x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{x \ln a}$, 且 $\ln 1$ $=$ $\log_{a} 1$ $=$ $0$, 所以：

$$
\ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t, \quad (x > 0)
$$

$$
\log_{a} x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t \ln a} \mathrm{~d} t, \quad (x > 0)
$$

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