如果不能一步登天，那就步步为营

一、题目

二、解析

基础知识

均值不等式：

$$
a + b \geqslant 2 \sqrt{ab}
$$

其中，$a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$.

解法 1：一步登天（观察可知）

观察可知，如果对 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ 乘以 $a + 2b$, 则有：

$$
\begin{aligned}
(a + 2b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) & = 3 + \frac{a}{b} + \frac{2b}{a} \\ \\
& \geqslant 3 + 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{2b}{a}} = 3 + 2\sqrt{2}
\end{aligned}
$$

即：

$$
\begin{aligned}
& (a + 2b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geqslant 3 + 2 \sqrt{2} \\ \\
\leadsto \ & 1 \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geqslant 3 + 2 \sqrt{2} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 3 + 2 \sqrt{2} }
\end{aligned}
$$

综上可知，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$.

解法 2：步步为营（等价转换）

首先，由 $a + 2b = 1$ 可知：

$$
\begin{aligned}
& a = 1 – 2b \\ \\
\leadsto \ & a > 0 \leadsto 1-2b > 0 \leadsto b < \dfrac{1}{2}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{1 – 2b} + \frac{1}{b}
$$

令 $x = \dfrac{1}{b}$, 则 $x > 2$, $b = \dfrac{1}{x}$, 因此：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{1}{1 – 2b} + \frac{1}{b} \\ \\
& = \frac{1}{1 – \frac{2}{x}} + x \\ \\
& = \frac{x}{x – 2} + x
\end{aligned}
$$

根据前文中给出的均值不等式可知，如果我们能够造出下面的等式：

$$
\textcolor{pink}{
\frac{x}{x – 2} + x = c_{1} + \frac{c_{2}}{x-2} + (x – 2) } \tag{1}
$$

其中，$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 都是常数.

就可以得出如下不等式：

$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant c_{1} + 2 \sqrt{c_{2}}
$$

于是，我们将目光重新回到上面的 $\textcolor{pink}{ (1) }$ 式，对其进行化简和运算，可得：

$$
\begin{aligned}
& \frac{x}{x – 2} = c_{1} + \frac{c_{2}}{x-2} – 2 \\ \\
\leadsto \ & \frac{x}{x – 2} = \frac{c_{2}}{x – 2} + (c_{1} – 2) \\ \\
\leadsto \ & x = c_{2} + (c_{1} – 2) (x – 2) \\ \\
\leadsto \ & x = (c_{1} – 2) x + c_{2} – 2 (c_{1} – 2) \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
c_{1} – 2 = 1 \\
c_{2} – 2 (c_{1} – 2) = 0
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
c_{1} – 2 = 1 \\
c_{2} – 2 c_{1} + 4 = 0
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ \begin{cases}
c_{1} = 3 \\
c_{2} = 2
\end{cases}
}
\end{aligned}
$$

于是可知：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ \frac{x}{x – 2} + x } & = 3 + \frac{2}{x-2} + (x – 2) \\ \\
& = 3 + \frac{2}{x – 2} + (x – 2) \\ \\
& \textcolor{springgreen}{ \geqslant 3 + 2\sqrt{2} }
\end{aligned}
$$

综上可知，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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