矩阵运算与特征值运算的映射关系

一、前言

在本文中，我们来看一看矩阵的不同运算会导致矩阵的特征值对应发生什么样的变化.

二、正文

假设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda$（其中，$\lambda$ 可能包含 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\lambda_{3}$, $\cdots$, $\lambda_{n}$ 等多个具体的特征值），则：

在下文中，$k$ 为任意正整数；$f$ 表示任意的矩阵加、减、乘、除、数乘运算的组合；矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是一个可逆矩阵.

矩阵 $\boldsymbol{A} + k \boldsymbol{E}$ 对应的特征值为：$\lambda + k$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \lambda_{1} + k \\
& \lambda_{2} + k \\
& \lambda_{3} + k \\
& \vdots \\
& \lambda_{n} + k
\end{aligned}
$$

矩阵 $k \boldsymbol{A}$ 对应的特征值为：$k \lambda$, 即：

$$
\begin{aligned}
& k \lambda_{1} \\
& k \lambda_{2} \\
& k \lambda_{3} \\
& \vdots \\
& k \lambda_{n}
\end{aligned}
$$

矩阵 $\boldsymbol{A}^{k}$ 对应的特征值为：$\lambda^{k}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \lambda_{1}^{k} \\
& \lambda_{2}^{k} \\
& \lambda_{3}^{k} \\
& \vdots \\
& \lambda_{n}^{k}
\end{aligned}
$$

矩阵 $f \left( \boldsymbol{A} \right)$ 对应的特征值为：$f \left( \lambda \right)$, 即：

$$
\begin{aligned}
& f \left( \lambda_{1} \right) \\
& f \left( \lambda_{2} \right) \\
& f \left( \lambda_{3} \right) \\
& \vdots \\
& f \left( \lambda_{n} \right) \\
\end{aligned}
$$

矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 对应的特征值为：$\frac{1}{\lambda}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{\lambda_{1}} \\
& \frac{1}{\lambda_{2}} \\
& \frac{1}{\lambda_{3}} \\
& \vdots \\
& \frac{1}{\lambda_{n}} \\
\end{aligned}
$$

矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 对应的特征值为：$\frac{\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}}{\lambda}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}}{\lambda_{1}} \\
& \frac{\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}}{\lambda_{2}} \\
& \frac{\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}}{\lambda_{3}} \\
& \vdots \\
& \frac{\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}}{\lambda_{n}} \\
\end{aligned}
$$