满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过多种方式，证明以下两个结论：

• 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
• 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.

二、正文

在本文接下来的讨论中，我们假设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶方阵. 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个满秩方阵，则 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $n$, 否则 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $<$ $n$; 同时，如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是一个满秩方阵，则 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $n$, 否则 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $<$ $n$.

§2.1 结论：两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩

证明方法一：矩阵的可逆性

首先，满秩的方阵一定是一个可逆矩阵；反之，一个可逆的矩阵一定是满秩的方阵.

所以，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵，则有：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
\end{pmatrix}^{-1} \\
& \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1} = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}
\end{pmatrix}^{-1}
\end{aligned}
$$

从上面的式子可以看出，矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 都是可逆矩阵，所以，矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 一定是满秩矩阵.

综上可知，两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩.

证明方法二：行列式不等于 $0$

首先，满秩的方阵对应的行列式的值一定不等于 $0$; 反之，值不等于 $0$ 的行列式对应的矩阵一定是满秩的方阵.

又由行列式的计算公式，可知：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
\end{vmatrix}
$$

由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是满秩矩阵，所以：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \neq 0, \ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} \neq 0
$$

于是可知：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} \neq 0
$$

进而可知：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
\end{vmatrix} \neq 0
$$

综上可知，两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩.

§2.2 结论：两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩

由「荒原之梦考研数学」的《矩阵秩的性质汇总》这篇文章，可知：

$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
\end{pmatrix} \leqslant \min { \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{pmatrix}, \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix} }
$$

因此，若其中一个矩阵不满秩，即其秩小于 $n$，则：

$$
\min { \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{pmatrix}, \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix} } < n
$$

从而可知，矩阵 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 不满秩：

$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}
\end{pmatrix} < n
$$

综上可知，两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩; 进一步，若两个同阶的方阵都不是满秩方阵，则相乘得到的矩阵也一定不满秩.

---