平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂

一、前言

我们知道，在对一个式子进行积分的时候，如果式子中自变量的次幂都是相同的，就会比较方便进行运算.

我们还知道，平方运算可以让一个式子的次幂增加（反过来看就是减少），例如 $\left( x^{\textcolor{#00bffe}{3}} \right)^{2}$ $=$ $x^{\textcolor{#00bffe}{6}}$; 而每次求导运算可以将一个式子的次幂减少 $1$ 次，例如 $\mathrm{d} \left( x^{\textcolor{yellow}{3}} \right)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{\textcolor{yellow}{2}} \mathrm{~d} x$.

所以，对于被积函数中次幂不同部分，可以尝试通过平方运算与求导运算结合使用的方式，凑成相同的次幂.

二、正文

下面，我们通过两道例题，来应用一下本文前言部分所给出的建议：

§2.1 例题 1

题目

$$
\int \frac{x \mathrm{~d} x}{1 + x^{4}} \mathrm{~d} x = ?
$$

解析

分子中的 $x^{\textcolor{orange}{1} }$和分母中的 $x^{\textcolor{orange}{4}}$ 次幂相差 $3$ 次：由于 $\textcolor{orange}{4} \div 2 – 1$ $=$ $\textcolor{orange}{1}$, 所以，可以尝试使用平方与求导运算凑成相同的次幂.

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{x \mathrm{~d} x}{1 + x^{4}} \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & \int \frac{\frac{1}{2} \mathrm{~d} \left( \textcolor{lightgreen}{ x^{2} } \right)}{1 + \left( \textcolor{lightgreen}{ x^{2} } \right)^{2}} \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \arctan \left( \textcolor{lightgreen}{x^{2}} \right) + C
\end{aligned}
$$

其中，$C$ 为任意常数.

§2.2 例题 2

题目

$$
\int \frac{x^{3} \mathrm{~d} x}{1 + x^{8}} \mathrm{~d} x = ?
$$

解析

分子中的 $x^{\textcolor{orange}{3}}$ 和分母中的 $x^{\textcolor{orange}{8}}$ 次幂相差 $5$ 次：由于 $\textcolor{orange}{8} \div 2 – 1$ $=$ $\textcolor{orange}{3}$, 所以，可以尝试使用平方与求导运算凑成相同的次幂.

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{x^{3} \mathrm{~d} x}{1 + x^{8}} \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & \int \frac{\frac{1}{4} \mathrm{~d} \left( \textcolor{lightgreen}{ x^{4} } \right)}{1 + \left( \textcolor{lightgreen}{ x^{4} } \right)^{2}} \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & \frac{1}{4} \arctan \left( \textcolor{lightgreen}{x^{4}} \right) + C
\end{aligned}
$$

其中，$C$ 为任意常数.

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