图解等价/相似矩阵的链式等秩公式

一、前言

根据矩阵的性质，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，那么，就会存在下面这样的秩相等的链式关系式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，让同学们可以通过图形的方式，更加形象的对上面的公式有一个深入的理解。

二、正文

首先，我们先定义一个 $n \times m$ 阶的矩阵，如图 01 所示（在本文中，我们不对矩阵中的具体元素做表示，所以，在图 01 中我们用一支铅笔填充矩阵中元素所在的位置）：

根据矩阵的秩的定义我们知道，矩阵的秩就是矩阵中最高阶数的非零子式的阶数——也就是说，我们从矩阵中取出一些元素，按照这些元素在矩阵中原来的相对位置组成一个 $k \times k$ 的行列式，如果这个行列式不等于零，并且我们在这个矩阵中找不到比这个行列式的阶数更高且不等于零的行列式了，那么，这个矩阵的秩就等于 $k$——

在本文中，我们用正方形表示能够用于表示矩阵的秩的非零子式，这些非零子式在矩阵中的位置有很多种可能性，如图 02 所示：

接着，为了接下来的讨论方便，根据矩阵的性质，我们通过初等行变换和初等列变换，将图 02 中的非零子式都移动到矩阵的左上角，结果如图 03 所示：

由于相似矩阵的秩都是相等的，即 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$, 也就是对应的非零子式的阶数相同，同时也就意味着，相似的两个矩阵在本文中对应的正方形是一样大小的。

因此，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，则矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩就可以用如图 04 的方式表示（两个相同的小正方形并到一起，形成一个长方形）：

类似地，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，则矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩就可以用如图 05 的方式表示（两个相同的小正方形并到一起，形成一个长方形）：

但是，根据几何性质可知，从两个正方形拼接形成的长方形中，我们只能找到一个和原来的正方形一样大小的正方形，如图 06 所示：

于是，下式得证：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \\ \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
} \tag{1}
$$

三、公式的选择

需要注意的是，在实际应用的时候，根据上面的推导过程可知，只要下面的 $(2)$ 式或者 $(3)$ 式成立，上面的 $(1)$ 式也就成立了：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}
} \tag{2}
$$

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
} \tag{3}
$$

通常情况下，要利用等价矩阵或者相似矩阵的秩相等性质，一般使用上面的公式 $(2)$ 即可.

Next

但是，怎么具体确定什么时候使用公式 $(2)$, 什么时候使用公式 $(1)$, 什么时候只需要使用 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 呢？

换句话说，怎么确定什么时候用两个矩阵秩相等的式子，什么时候用三个矩阵秩相等的式子，什么时候用四个矩阵秩相等的式子？

对此，我们需要分情况讨论：

情 况 一 ：从两个矩阵秩相等的式子 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 中，我们只能提取出来一个等式：

$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}
$$

情 况 二 ：从三个矩阵秩相等的式子 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 中（这里以公式 $(2)$ 为例，公式 $(3)$ 同理），我们可以提取出来三个不同的等式：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

情 况 三 ：从四个矩阵秩相等的式子 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}$ 中，我们可以提取出来六个不同的等式：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix} \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix} \\
& \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

于是，根据《N 个未知数需要多少个等式才能确定其取值》这篇文章可知：

• 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}
  \boldsymbol{A} \\
  \boldsymbol{B}
  \end{pmatrix}$ 的秩只有 $1$ 种可能的取值，此时，根据上面的情况一，选择其中两个矩阵秩相等的公式即可；
• 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}
  \boldsymbol{A} \\
  \boldsymbol{B}
  \end{pmatrix}$ 的秩有 $2$ 种或者 $3$ 种可能的取值，此时，根据上面的情况二，选择其中三个矩阵秩相等的公式即可；
• 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}
  \boldsymbol{A} \\
  \boldsymbol{B}
  \end{pmatrix}$ 的秩有 $4$ 种、$5$ 种或者 $6$ 种可能的取值，此时，根据上面的情况三，选择其中四个矩阵秩相等的公式即可.

四、拓展

[1]. 《相似矩阵的性质汇总》

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