初等变换会改变行列式的值吗？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将详细分析初等变换对行列式的值的影响.

二、正文

初等变换是计算行列式的时候常用的操作，初等变换包括：

• 交换两行或者两列的位置：$r_{i} \leftrightarrow r_{j}$, $c_{i} \leftrightarrow c_{j}$;
• 某行或者某列乘以常数 $k$: $k \times r_{i}$, $k \times c_{i}$;
• 把某行的 $k$ 倍加到另一行，或者把某列的 $k$ 倍加到另一列：$r_{i} + k r_{j}$, $c_{i} + k c_{j}$

$r$ 表示行列式的行，$c$ 表示行列式的列.

对于上面三种初等变换，不会导致行列式的值发生改变的，只有“把某行的 $k$ 倍加到另一行，或者把某列的 $k$ 倍加到另一列”这一个操作，即：

• 交换两行或者两列的位置：每交换一次都会导致行列式的值变号一次（乘以 $-1$）;
• 某行或者某列乘以常数 $k$: 行列式的值也要乘以 $k$
• 把某行的 $k$ 倍加到另一行，或者把某列的 $k$ 倍加到另一列：行列式的值不变.

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