求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数

一、题目

已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.

二、分析

在本文给出的函数 $u$ 的表达式中，等号右侧出现了 $x$, $y$, $z$ 三个字母，并且没有给出其他有关这三个字母的表达式，所以，我们就可以认为函数 $u$ 实际上就是函数 $u(x, y, z)$——也就是说，$x$, $y$, $z$ 都是处于同一个层级的变量，因此，在对其中一个变量求偏导数的时候，其他所有同级变量都可以看作常数。

但是，如果在题目给出 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$ 的情况下，还给出了 $z$ $=$ $z(x, y)$, 则说明 $z$ 并不是一个和 $x$, $y$ 同等级的变量，而是 $x$, $y$ 的函数，这个时候，对 $x$ 或者 $y$ 求偏导的时候，就不能将 $z$ 看作常数，而应该将 $z$ 看作 $x$ 和 $y$ 的函数.

三、解答

求解 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 的时候，应将函数 $u$ 的表达式中的同级变量 $y$, $z$ 都看作常数，于是：

$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2 xz^{2} + 2 x \cos x^{2}
$$

求解 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 的时候，应将函数 $u$ 的表达式中的同级变量 $x$, $z$ 都看作常数，于是：

$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 2 yz^{2}
$$

求解 $\frac{\partial u}{\partial z}$ 的时候，应将函数 $u$ 的表达式中的同级变量 $x$, $y$ 都看作常数，于是：

$$
\frac{\partial u}{\partial z} = 2 z(x^{2} + y^{2})
$$

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