分块矩阵的常用运算汇总

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对分块矩阵常用的运算做一个汇总，方便同学们快速解题.

二、正文

§2.1 分块矩阵的加法运算

$$
\begin{bmatrix}
a_{1} & a_{2} \\
a_{3} & a_{4}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
b_{1} & b_{2} \\
b_{3} & b_{4}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{1} + b_{1} & a_{2} + b_{2} \\
a_{3} + b_{3} & a_{4} + b_{4}
\end{bmatrix}
$$

§2.2 分块矩阵的减法运算

$$
\begin{bmatrix}
a_{1} & a_{2} \\
a_{3} & a_{4}
\end{bmatrix} – \begin{bmatrix}
b_{1} & b_{2} \\
b_{3} & b_{4}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{1} – b_{1} & a_{2} – b_{2} \\
a_{3} – b_{3} & a_{4} – b_{4}
\end{bmatrix}
$$

§2.3 分块矩阵的乘法运算

$$
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
A & C \\
B & D
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
aA + bB & aC + bD \\
cA + dB & cC + dD
\end{bmatrix}
$$

§2.4 分块矩阵的转置运算

$$
\begin{bmatrix}
a & \textcolor{white}{\colorbox{green}{b}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{c}} & d
\end{bmatrix}^{\top} = \begin{bmatrix}
a^{\top} & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{c}}^{\top} \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{b}}^{\top} & d^{\top}
\end{bmatrix}
$$

Note

注意副对角线上元素的变化.

zhaokaifeng.com

§2.5 分块矩阵的求逆运算

$$
\begin{bmatrix}
A & O \\
O & B
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
A^{-1} & O \\
O & B^{-1}
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
O & \textcolor{white}{\colorbox{green}{A}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} & O
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
O & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}}^{-1} \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{A}}^{-1} & O
\end{bmatrix}
$$

Note

注意副对角线上元素的变化.

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§2.6 分块矩阵的求 $n$ 次方运算

$$
\begin{bmatrix}
A & O \\
O & B
\end{bmatrix}^{n} = \begin{bmatrix}
A^{n} & O \\
O & B^{n}
\end{bmatrix}
$$

Next

补 充 ：有关 $\begin{bmatrix}
O & A \\
B & O
\end{bmatrix}^{n}$ 的计算在考研数学中并不常见，感兴趣的同学也可以了解一下其计算公式：

$$
\begin{bmatrix}
O & A \\
B & O
\end{bmatrix}^{n} =
\begin{cases}
\begin{bmatrix}
(AB)^{k} & O \\
O & (BA)^{k}
\end{bmatrix}, & n = 2k \\ \\ \\
\begin{bmatrix}
O & (AB)^{k} A \\
(BA)^{k} B & O
\end{bmatrix}, & n = 2k + 1
\end{cases}
$$

同时，由于矩阵乘法满足结合律，所以：

$$
\begin{aligned}
& A(BA)^{k} = \textcolor{gray}{ A B^{k}A^{k} = A^{k}B^{k}A } = (AB)^{k}A \\ \\
& B(AB)^{k} = \textcolor{gray}{ BA^{k}B^{k} = B^{k}A^{k}B } = (BA)^{k}B
\end{aligned}
$$

于是，对于 $\begin{bmatrix}
O & A \\
B & O
\end{bmatrix}^{n}$, 当 $n$ 为奇数，即 $n = 2k + 1$ 时，其计算公式还可以写为：

$$
\begin{bmatrix}
O & A \\
B & O
\end{bmatrix}^{n} = \begin{bmatrix}
O & A(BA)^{k} \\
B(AB)^{k} & O
\end{bmatrix}
$$

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