一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过有关反三角函数 $\arctan$ 的一个恒等式，给出一个一般考研辅导资料中没有提到的等价无穷小公式.
二、正文
在「荒原之梦考研数学」的《基于几何证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式》这篇文章中，我们得到了下面这两个公式：
$$
\begin{aligned}
& \arctan \left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t > 0 \\ \\
& \arctan \left(\frac{1}{t}\right) = -\frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t < 0
\end{aligned}
$$
基于上面的公式，我们可以做如下变形：
$$
\begin{aligned}
& \arctan t = \frac{\pi}{2} – \arctan \left(\frac{1}{t}\right), \quad t > 0 \\ \\
& \arctan t = -\frac{\pi}{2} – \arctan \left(\frac{1}{t}\right), \quad t < 0
\end{aligned}
$$
又根据常用的等价无穷小公式可知，当 $t \rightarrow 0$ 的时候，我们有：
$$
t \sim \arctan t
$$
于是，我们得出当 $t \rightarrow 0^{+}$ 和 $t \rightarrow 0^{-}$ 时候的下列无穷小公式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& t \sim \frac{\pi}{2} – \arctan \left(\frac{1}{t}\right), \quad t \rightarrow 0^{+} \\ \\
& t \sim -\frac{\pi}{2} – \arctan \left(\frac{1}{t}\right), \quad t \rightarrow 0^{-}
\end{aligned}
}
$$
Tip
有关等价无穷小的更多更全面的公式，可以查看「荒原之梦考研数学」的《等价无穷小公式汇总》这篇文章.
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