一、前言
级数的收敛包含条件收敛和绝对收敛这两种可能的形式，所以，级数具有更复杂的性质与相关结论.
在本文中，「荒原之梦考研数学」会使用向量这一工具，以图形的方式，对收敛级数进行表述上的重新定义，并据此给出解释收敛级数性质的更简洁的推理与证明.
同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也想阐述这样一个观点，那就是：通过适当且合理的初始定义，有可能使得对问题的研究与对结论的理解变得非常直观和简洁.
二、正文
§2.1 基础背景
有关绝对收敛和条件收敛的标准定义，可以查阅以下页面：
§2.2 初始定义
我们用水平的向量表示收敛的级数. 其中，水平指向右侧的绿色向量表示收敛于某个正数（如图 01 所示），水平指向左侧的橙色向量表示收敛于某个负数（如图 02 所示）：
我们用倾斜的向量表示发散的级数. 其中，指向垂线（竖线）右侧的向量表示趋向于正无穷大（$+ \infty$）的发散级数（如图 03、04 所示），指向垂线左侧的向量表示趋向于负无穷大（$- \infty$）的发散级数（如图 05、06 所示）. 其中，不同的倾斜角度表示趋于无穷大的速度不同：
当然，一个向量可以分解为无数个子向量的和，一个级数也可以分解为无数种子项的组合，但是，在本文中，我们只考虑级数的正项子项和负项子项对应的向量.
因此，下面如图 07、08 所示的，用白色向量对绿色向量的不同分解方式，不在本文的定义与研究范围之内：
此外，由于本文中的理论方法不需要用到垂直的向量，因此，本文也不对如图 09、10 所示的，垂直的白色向量做定义：
接着是对级数取绝对值的向量化表述（操作）：
对于将级数 $\sum a_{n}$ 取绝对值变成级数 $\sum |a_{n}|$ 的操作，如果级数 $\sum a_{n}$ 对应的是一个绿色的向量，则 $\sum |a_{n}|$ 对应的也是同一个绿色的向量；如果级数 $\sum a_{n}$ 对应的是一个橙色的向量，则 $\sum |a_{n}|$ 对应的是该橙色向量旋转 $180^{\circ}$ 之后得到的绿色向量.
简单地说，级数取绝对值的向量化操作，就是将位于竖轴左侧的向量，以镜像翻转的方式，翻转到竖轴的右侧（如图 11、12、13 所示）：
§2.3 绝对收敛级数和条件收敛级数的定义
由于绝对收敛的级数在负项取绝对值操作之后仍然收敛，所以，绝对收敛级数的负项对应的向量只能是水平向量（向左的水平向量，或者是向右的水平向量），又因为绝对收敛的级数整体对应的向量也是一个水平向量，所以，根据三角形（向量加法的三角形法则）的几何特性，如果（广义的）三角形有两个边是水平的，那么第三个边也一定是水平的.
因此，我们用蓝色水平向量表示绝对收敛的级数对应的向量. 其中，指向竖线右侧的向量表示该级数绝对收敛于一个正数（如图 14 所示），指向竖线左侧的向量表示该级数绝对收敛于一个负数（如图 15 所示）：
当然，绝对收敛的级数既有可能只存在正项，也有可能只存在负项，或者正项和负项都存在.
若我们以既含有正项，又含有负项的绝对收敛的级数为例，则可以将其正项和负项对应的向量表示为如图 16 所示的形式：
之后，利用向量加法的几何运算法则（如图 17 所示），就可计算出绝对收敛的级数对应的向量本体（蓝色向量，如图 18 所示）：
与绝对收敛的级数对应的向量表示方法不同，对于条件收敛的级数，我们不仅需要表示出条件收敛的级数本体（蓝色向量），还需要将其正项对应的向量（绿色向量），以及负项对应的向量（橙色向量）都表示出来（如图 19 所示）：
接着，根据我们在前面“§2.2 初始定义”章节定义的向量化级数取绝对值的法则可知，对图 19 所示的条件收敛的级数取绝对值之后，该条件收敛的级数就会变成一个发散的级数（蓝色向量，如图 20 所示）：
§2.4 基于向量推导绝对收敛级数和条件收敛级数的相关结论
首先，根据“§2.3 绝对收敛级数和条件收敛级数的定义”章节中对绝对收敛级数和条件收敛级数的向量化定义可知，条件收敛的级数一定含有（发散的）负项，而绝对收敛的级数可能含有负项.
这是因为，如果条件收敛级数不含有负项，那么，对级数加绝对值与不加绝对值，就不会导致级数的敛散性发生变化，条件收敛的定义就无法成立了. 但是，绝对收敛级数中的负项一定是收敛的，对绝对收敛级数加绝对值与否，并不会改变绝对收敛级数的敛散性，所以，绝对收敛的级数可能含有（收敛的）负项，也可以不含有负项.
同样，根据“§2.3 绝对收敛级数和条件收敛级数的定义”章节中对绝对收敛级数和条件收敛级数的向量化定义可知，绝对收敛级数包含的正项和负项对应的向量都是倾斜的，所以绝对收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都收敛；而条件收敛的级数包含的正项和负项对应的向量都是水平的，所以条件收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都发散.
接着，我们再来用向量化的视角，看一看收敛级数的加法运算性质：
- 绝对收敛级数 + 绝对收敛级数 =（一定等于）= 绝对收敛级数
根据向量加法的几何运算法则，表示收敛的水平蓝色实线向量，和表示收敛的水平蓝色虚线向量相加（如图 21 所示），一定会得到一个收敛的向量（如图 22 所示）：
Tip
当然，如果我们将如图 21、22 所示的蓝色水平向量只看做收敛向量（不区分是绝对收敛还是条件收敛）的话，那么，也可以说明“收敛级数 + 收敛级数 = 收敛级数”.
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- 条件收敛级数 + 条件收敛的级数 =（可能等于）= 条件收敛的级数
根据向量加法的几何运算法则，蓝色实线向量对应的条件收敛级数，与蓝色虚线向量对应的条件收敛级数（如图 23 所示）各自的正项对应的向量与负项对应的向量相加（如图 24 所示）之后，有可能得到一个也是条件收敛的级数（如图 25 所示）：
根据「荒原之梦考研数学」的《向量加法满足交换律与结合律的图形证明》这篇文章可知，改变级数正项和负项对应的向量之间的向量几何求和运算的先后顺序，不会改变向量求和运算的结果. 所以，无论求和运算的时候是否按照图 24 所示的顺序进行运算，都会得到图 25 所示的向量.
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- 条件收敛的级数 + 条件收敛的级数 =（可能等于）= 绝对收敛的级数
根据向量加法的几何运算法则，蓝色实线向量对应的条件收敛级数，与蓝色虚线向量对应的条件收敛级数（如图 26 所示）各自的正项对应的向量与负项对应的向量相加（如图 27 所示）之后，有可能得到一个绝对收敛的级数（如图 28、29 所示）：
- 条件收敛的级数 + 绝对收敛的级数 =（可能等于）= 条件收敛的级数
根据向量加法的几何运算法则，蓝色实线向量对应的条件收敛级数，与蓝色虚线向量对应的绝对收敛级数（如图 30 所示）对应的向量相加之后，有可能得到一个条件收敛的级数（如图 31 所示）：
- 条件收敛的级数 + 绝对收敛的级数 =（可能等于）= 绝对收敛的级数
根据向量加法的几何运算法则，蓝色实线向量对应的条件收敛级数，与蓝色虚线向量对应的绝对收敛级数（如图 32 所示）对应的向量相加之后，有可能得到一个绝对收敛的级数（如图 33 所示）：
三、总结
通过本文中用向量的方式对级数（包括级数的正项和负项）的敛散性进行的定义，以及对绝对收敛级数与条件收敛级数所引申出来的结论进行的向量化解释，可以发现，用向量的方式不仅可以很好的描述级数的敛散性，也可以很好的推导级数的敛散性所具有的性质. 因此，用向量定义级数的敛散性具有一定的合理性，有助于我们形象化地理解级数的敛散性，并借助形象化的工具，对级数的敛散性相关的性质进行深入的分析和灵活的应用.
拓展资料 
[1]. 借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性
[2]. 借助向量工具研究数列隔项合并之后的敛散性
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