证明：条件收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都发散

一、定理

如果级数 $\sum a_{n}$ 条件收敛，那么，构成其的正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都发散.

二、证明

下面使用反证法来证明上面的定理：

假设级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和级数 $\sum a_{n}^{-}$ 中至少有一个收敛，则存在以下三种情况：

§2.1. 假设级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都收敛

根据「荒原之梦考研数学」的《怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？》这篇文章，我们知道 $a_{n}^{+} \geqslant 0$, $a_{n}^{-} \geqslant 0$, 并且：

$$
\begin{aligned}
a_{n} & = a_{n}^{+} – a_{n}^{-} \\ \\
|a_{n}| & = a_{n}^{+} + a_{n}^{-}
\end{aligned}
$$

于是有：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \sum a_{n} } & = \sum (a_{n}^{+} – a_{n}^{-}) \notag \\ \notag \\
& \textcolor{lightgreen}{ = \sum a_{n}^{+} – \sum a_{n}^{-} } \tag{1} \\ \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \sum |a_{n}| } & = \sum (a_{n}^{+} + a_{n}^{-}) \notag \\ \notag \\
& \textcolor{lightgreen}{ = \sum a_{n}^{+} + \sum a_{n}^{-} } \tag{2}
\end{align}
$$

对于上面的 $(1)$ 式，如果级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都收敛，那么它们的差 $\sum a_{n}^{+} – \sum a_{n}^{-}$ 也收敛，即级数 $\sum a_{n}$ 收敛，这与已知条件一致.

对于上面的 $(2)$ 式，如果级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都收敛，那么它们的和 $\sum a_{n}^{+} + \sum a_{n}^{-}$ 也收敛，即级数 $\sum |a_{n}|$ 收敛，这与级数 $\sum a_{n}$ 是一个条件收敛的级数相矛盾，因此，级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和级数 $\sum a_{n}^{-}$ 不可能同时收敛，假设不成立.

§2.2. 假设级数 $\sum a_{n}^{+}$ 收敛，级数 $\sum a_{n}^{-}$ 发散

根据「荒原之梦考研数学」的《怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？》这篇文章，我们知道：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \sum a_{n} } & = \sum (a_{n}^{+} – a_{n}^{-}) \notag \\ \notag \\
& \textcolor{lightgreen}{ = \sum a_{n}^{+} – \sum a_{n}^{-} } \tag{3}
\end{align}
$$

对于上面的 $(3)$ 式，当级数 $\sum a_{n}^{+}$ 收敛，级数 $\sum a_{n}^{-}$ 发散的时候，级数 $\sum a_{n}^{+} – \sum a_{n}^{-}$ 一定发散，即级数 $\sum a_{n}$ 发散，但这与已知的级数 $\sum a_{n}$ 收敛矛盾，所以假设不成立.

§2.3. 假设级数 $\sum a_{n}^{-}$ 收敛，级数 $\sum a_{n}^{+}$ 发散

根据「荒原之梦考研数学」的《怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？》这篇文章，我们知道：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \sum a_{n} } & = \sum (a_{n}^{+} – a_{n}^{-}) \notag \\ \notag \\
& \textcolor{lightgreen}{ = \sum a_{n}^{+} – \sum a_{n}^{-} } \tag{4}
\end{align}
$$

对于上面的 $(4)$ 式，当级数 $\sum a_{n}^{+}$ 发散，级数 $\sum a_{n}^{-}$ 收敛的时候，级数 $\sum a_{n}^{+} – \sum a_{n}^{-}$ 一定发散，即级数 $\sum a_{n}$ 发散，但这与已知的级数 $\sum a_{n}$ 收敛矛盾，所以假设不成立.

§2.4 结论

综上可知，由于 $a_{n}^{+} \geqslant 0$, $a_{n}^{-} \geqslant 0$, 因此，只有当级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和级数 $a_{n}^{-}$ 都发散的时候，级数 $\sum a_{n}$ 才会条件收敛，即：

$$
\begin{aligned}
\sum a_{n}^{+} & \rightarrow + \infty \\ \\
\sum a_{n}^{-} & \rightarrow + \infty
\end{aligned}
$$

Tip

由于 $a_{n}^{+} \geqslant 0$, $a_{n}^{-} \geqslant 0$, 所以，不可能存在 $\sum a_{n}^{+} \rightarrow – \infty$, 或者 $\sum a_{n}^{-} \rightarrow + \infty$.

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