向量加法满足交换律与结合律的图形证明

一、前言

我们知道，数字的加法是满足交换律与结合律的，事实上，向量的加法也满足交换律与结合律.

但是，由于向量比数字更加复杂一些，所以，我们可能难以直接感受到向量所具有的满足交换律与结合律的性质.

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，以及原创的基于圆形的证明，让同学们对向量的交换律与结合律有一个直观的理解.

二、正文

§2.1 上下左右

首先，我们将一个点从某个位置开始，依次做“上 → 下 → 左 → 左 → 右 → 上”的移动，如图 1(1-7) 所示：

接着，我们将上面的移动顺序打乱（需要保持上、下、左、右移动的频次不变），变成“左 → 上 → 下 → 右 → 上 → 左”移动的过程如图 2(1-7) 所示：

于是，如果我们将“上、下、左、右”看作向量，即：

上：向上的向量；
下：向下的向量；
左：向左的向量；
右：向右的向量.

就会发现，上面的过程过程实际上就验证了向量加法的交换律.

但是，上面的过程并没有证明向量加法一定满足交换律与结合律，对此的证明，请继续往下看.

§2.2 圆形证明

用圆形证明向量加法的交换律与结合律是由「荒原之梦考研数学」首先独创的一种证明向量加法满足交换律与结合律的方式，非常直观.

具体来说，如果我们有一些向量，并对这些向量做加法运算，那么，根据向量加法运算的三角形表示方法，就是要将这些向量首尾相连.

因此，只要我们有这样一个圆，可以保证参与加法运算的第一个向量的“尾”在圆边上，并且参与加法运算的最后一个向量的“头”在圆边上，那么，无论我们怎么调整这些向量的先后次序（交换律），以及运算的优先级（结合律），最终得到的向量都是同一个向量，与该向量所在直线的延长线相割的圆的一部分的周长、面积、角度也都是相同的，从而可以证明向量加法满足交换律与结合律.

本方法的成立，只要求向量的起点和终点在圆上，至于圆是否是外接圆，以及圆形是否位于所有向量的外部，都不会影响本方法的正确性.

例如，对于如图 03(1-3) 中的向量，由于一共存在三个向量，所以，我们可以采用三角形外接圆，对向量加法的交换律与结合律的进行证明：

接着，如图 04(1-3) 所示，改变图 03(1-3) 中两个相加向量的先后次序之后，图 04(1-3) 中所得的向量仍然与图 03(1-3) 中所得的向量在同一个圆中完全一致：

当然，由于不是所有多边形都有外接圆，所以，我们可以采用圆心位于向量加法运算所得的向量的中心点的圆来证明向量加法满足交换律与结合律.

例如，如图 05(1-4) 所示，三个向量进行加法运算，得到了一个向量，以及对应的圆心位于该向量中心点的圆：

接着，我们改变这三个相加的向量的次序，得到的仍然是同一个向量，以及同一个圆心位于该向量中心点的圆，如图 06(1-4) 所示：

以上就是基于圆形对向量加法运算满足交换律与结合律的图形化证明.

§2.3 分量证明

本证明方法是一个比较传统和中规中矩的证明.

我们知道，每个向量都可以唯一的分出来一个水平分量和一个垂直分量，如图 07(1-4) 所示：

因此，如果首先将向量（一般是倾斜的）都看作是由一些水平分量和垂直分量的对应相加，那么，向量相加的整个过程实际上就是水平线的拼接，以及垂直线的拼接，在形式上会变得更直观一些，也更容易被我们所理解——

虽然这种方式并不能对向量加法是否满足交换律与结合律给出一个直接的证明，但可以帮助我们在思考和理解向量加法的这些性质时，建立更加清晰的逻辑.

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